Question

Considere as retas cujas equações são:y = – x + 4 e y = mx, em que m é uma constante positiva. Nesse caso, qual é a área do triangulo determinado pelas duas retas e o eixo das abscissas?

Answer 1

Resposta:

$\frac{8m}{m+1}$

Explicação passo-a-passo:

Os vértices do triângulo serão os pontos de encontro entre as retas e a abscissa (eixo x) e o ponto comum entre as duas retas.

Os pontos de encontro entre as retas e a abscissa são as raízes das equações, ou seja, quando y é igual a zero.

O primeiro ponto A será:

$y=-x+4\\\\0=-x+4\\\\-4=-x\\\\x=4$

A(4, 0)

O segundo ponto B será, sendo m uma constante positiva, isso me permite dividir por m.

$y=mx\\\\0=mx\\\\\frac{0}{m}=\frac{mx}{m}\\\\x=0$

B(0, 0)

O terceiro ponto C será quando ambas as retas possuírem o mesmo valor de x e y, logo:

$y=-x+4=y=mx\\\\-x+4=mx\\\\4=mx+x\\\\4=x(m+1)\\\\x=\frac{4}{m+1}$

Para o valor de y, basta substituirmos:

$y=-\frac{4}{m+1}+4\\\\y=\frac{-4+4m+4}{m+1}\\\\y=\frac{4m}{m+1}$

C(4/(m+1)), 4m/(m+1))

Para calcularmos a área do triângulo precisamos da base e da altura. A base será a diferença entre os pontos que incidem na abscissa, ou seja, o x do ponto A subtraído do x do ponto B.

$b=4-0=4$

Para a altura, pegamos o y do ponto C subtraído do y do ponto A ou B (ambos são zero).

$h=\frac{4m}{m+1}-0=\frac{4m}{m+1}$

A área do triângulo será base vezes altura sobre dois:

$\frac{b*h}{2}\\\\=\frac{4*\frac{4m}{m+1}}{2}\\\\=\frac{\frac{16m}{m+1}}{2}\\\\=\frac{16m}{m+1}*\frac{1}{2}\\\\=\frac{16m}{2*(m+1)}\\\\=\frac{8m}{m+1}$