Question

Integre a função abaixo.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos a integral abaixo, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{x^2+3x-2}{\sqrt{x}}\,dx$

Expanda a fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{x^2}{\sqrt{x}}+\dfrac{3x}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\,dx$

Reescreva $x=x^{\frac{1}{2}}}$ e aplique a propriedade de divisão de potências

$\displaystyle{\int x^{2-\frac{1}{2}}+3\cdot x^{1-\frac{1}{2}}-2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int x^{\frac{3}{2}}+3\cdot x^{\frac{1}{2}}-2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\,dx}$

Aplique a regra da soma: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$

$\displaystyle{\int x^{\frac{3}{2}}\,dx+\int3\cdot x^{\frac{1}{2}}\,dx+\int-2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\,dx}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx = c\cdot\int f(x)\,dx$

$\displaystyle{\int x^{\frac{3}{2}}\,dx+3\cdot\int x^{\frac{1}{2}}\,dx-2\cdot\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$\dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\dfrac{3}{2}+1}+C_1+3\cdot\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\dfrac{1}{2}+1}+C_2-2\cdot\dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\dfrac{1}{2}+1}+C_3$

Some as frações no expoente e denominador e reorganize os termos

$\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}}+3\cdot\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}-2\cdot\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}+C_1+C_2+C_3$

Calcule as frações de frações e considere $C_1+C_2+C_3=C$

$2\cdot\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{5}+2\cdot x^{\frac{3}{2}}}-4\cdot x^{\frac{1}{2}}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

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$\displaystyle\sf\int\dfrac{x^2+3x-2}{\sqrt{x}}~dx=\int( x^2+3x-2)\cdot x^{-\frac{1}{2}}~dx=\int (x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}})~dx\\\sf=\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+3\cdot\dfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}-2\cdot2\sqrt{x}+k\\\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\int\dfrac{x^2+3x-2}{\sqrt{x}}~dx=\dfrac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{3}{2}}-4\sqrt{x}+k}}}}$