Question

Considere as funções f(x) = x

2 − 2x e g(x) = x

2 − 4x + 4.

a) Para que valores de x temos f(x) = g(x)?
b) Considerando h(x) = f(x)
g(x)
determine o domínio de h(x) e calcule lim
h(x).

Observação: O cálculo do limite no item b) deve ser justificado sem o auxílio de gráficos.

Answer 1

Como resolver a questão?

a) Devemos igualar as funções f(x) e g(x).

f(x) = g(x)

x² - 2x = x² - 4x + 4

2x = 4

x = 2

Ou seja, f(x) será igual à g(x) apenas no ponto com abscissa 2.

b) Seja h(x) = f(x)/g(x). Pede-se o limite de h(x) quando x tende a 2.

$\lim_{h(x) \to2} \dfrac{x^2-2x}{x^2-4x+4}$

De cara notamos uma indeterminação matemática do tipo "0/0". Para contorná-la, nesse caso é útil fatorar ambos numerador e denominador.

$\lim_{x\to2} \dfrac{x^2-2x}{x^2-4x+4} =\\\\\\ \lim_{x \to2} \dfrac{x.(x-2)}{(x-2)^2}=\\\\\\ \lim_{x \to2} \dfrac{x}{(x-2)}$

O próximo passo é avaliar os limites laterais, ou seja, quando x tende a 2 pela direita (x -> 2+) ou pela esquerda (x-> 2-)

$\lim_{x \to2^+} \dfrac{x}{(x-2)} = \dfrac{2}{0}^+ = +\infty\\\\\lim_{x \to2} \dfrac{x}{(x-2)} = \dfrac{2}{0}^- = -\infty$

Portanto, como os limites laterais são diferentes não existe o lim h(x) quando x tende a 2.

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