Question

Considere a parábola abaixo e identifique o foco, diretriz, vértice, comprimento do foco e largura do foco. Além disso, encontre a equação algébrica que corresponda a parábola. ​

Answer 1

Resposta:

• Foco da Parábola

O foco é o ponto usado para definir a parábola. No gráfico ele está representado pela letra B nas posições (-2, 0). É legal se notar que a distância ao vértice é a mesma que a da diretriz ao vértice.

• Diretriz da Parábola

É a reta que juntamente com a diretriz, define a parábola. No gráfico ela está representada pela letra f (em amarelo) e sua posição é x=2 (já que sua extensão em y abrange toda a parábola).

• Vértice da Parábola

É o ponto em que a parábola muda de sentido, pela análise do gráfico, preserve-se que o vertesse está no ponto A e sua posição é (0, 0).

• Comprimento do Foco

Comprimento do foco é a distância direta do vértice ao foco da parábola, no caso 2.

• Largura do Foco

A largura do foco é a distancia entre o foco da parábola e as extremidades da parábola. É calculada através da relação (p é comprimento do foco):

$\sf L_f = \left | 4p\right | \\L_f = \left | 4 \cdot 2\right | \\L_f = \left | 8 \right | \\L_f =8$

• Equação da Parábola

Para encontrar a equação da parábola usaremos a relação, visto que a concavidade está virada para esquerda (p é a distância entre o foco e a diretriz):

$\sf y^2 = -2px\\y^2 = -2\cdot 4x\\{y}^{2} = -8x$

Espero ter ajudado :)

Answer 2

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⠀⠀⠀☞ Foco em (-2, 0), reta diretriz x = 2, vértice em (0,0) e equação da parábola x = -(y²/8). O comprimento do foco é de 2 e sua largura é de 8. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos rever a definição de parábola, encontrar um ponto a partir do foco e usar a equação reduzida da parábola.⠀⭐⠀  

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• ☀️⠀Uma parábola é definida como o conjunto dos pontos que equidistam de um ponto específico (chamado foco) e de uma reta específica (chamada diretriz), de forma que a distância deste vértice até a reta diretriz é igual à distância do foco até o vértice da parábola, distância esta que podemos chamar de comprimento do foco (representada pela letra p). Já a largura do foco é a abertura lateral que o foco têm até a parábola e equivale ao quádruplo de p.

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⠀⠀⠀➡️⠀Nossa primeira conclusão observando o gráfico é que esta não é uma f(x) mas sim um f(y). Em seguida extraímos que o vértice da parábola está na origem, ou seja, (-Δ/4a, -b/2a) = (0,0). Desta informação já podemos também concluir que b e Δ são iguais à zero (já que a ≠ 0 para qualquer parábola), o que nos leva à (pela equação do  discriminante Δ = b² - 4ac) também concluir que c = 0.

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⠀⠀⠀➡️⠀Pelo gráfico extraímos que o foco está em (-2, 0), a reta diretriz é x = 2. A comprimento do foco (p) vale 2 e a largura do foco vale 4 × 2 = 8.

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⠀⠀⠀➡️⠀Sabemos até o momento que a equação desta parábola é x = ay² mas agora chegou a hora de definirmos o coeficiente a. Vamos substituir o ponto (-2, 4) - ponto este que equidista em 2p do foco e da reta diretriz - na equação que temos até o momento:

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$\LARGE\blue{\sf -2 = a \cdot 4^2}$

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$\LARGE\blue{\sf a = -\dfrac{2}{16}}$

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$\LARGE\blue{\sf a = -\dfrac{1}{8}}$  

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⠀⠀⠀⭐ Sendo assim a equação desta parábola é ✌

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                                         $\qquad\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ -\dfrac{y^2}{8} }~~~}}$ ✅

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⠀⠀⠀☀️⠀Conhecendo o vértice e o comprimento focal poderíamos ter encontrado a equação desta parábola também através da seguinte relação (onde (x-xv) está invertido com (y-yv) justamente devido a parábola ter sua simetria horizontal):

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                             $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf (y - y_v)^2 = 4p \cdot (x - x_v)}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre parábolas, focos e retas diretrizes:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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