Question

Considere a matriz

em que ܽ é um número real. Sabendo que A admite inversa A^-1 cuja primeira coluna é

a soma dos elementos da diagonal principal de A^-1 é igual a

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Answer 1

Para encontrarmos a soma dos elementos da diagonal principal é necessário estabelecer:

I) Para A = $\left[\begin{array}{ccc}a&2a + 1\\a - 1&a + 1\end{array}\right]$

Para A⁻₁ = $\left[\begin{array}{ccc}2a - 1&x\\- 1&y\end{array}\right]$

Assim, teremos:

A.A⁻¹ = $\left[\begin{array}{ccc}2 a^{2} - 3a -1 &ax + (2a + 1)y\\2 a^{2} - 4a} &(a - 1)x + (a + 1)y\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Desta forma, obtemos:
$\left \{ {{2 a^{2} - 3a - 1 =1} \atop {2 a^{2} - 4a =0}} \right.$ ⇒ a = 2


II) $\left \{ {{ax + (2a + 1)y=0} \atop {(a - 1)x + (a + 1)y=1}} \right. , <strong>lembrando que a + 2.$
⇒ $\left \{ {{y=2} \atop {x=-5}} \right.$

A soma dos elementos da diagonal principal A⁻₁ é (2a - 1) + y = 3 + 2 = 5