Question

Considere a função quadrática tal que f(-1) = -4, f(1) = 2 e f(2) = -1. Determine o produto dos coeficientes a.b.c ​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Seja a equação genérica do segundo grau   $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Substituindo f (-1), f (1) e f (2) na equação genérica, temos

    f (-1) = -4

    f (-1) = a · (-1)² + b · (-1) + c

    -4 = a · 1 - b + c

    -4 = a - b + c

    a - b + c = -4

    f (1) = 2

    f (1) = a · (1)² + b · (1) + c

    2 = a · 1 + b + c

    2 = a + b + c

    a + b + c = 2

    f (2) = -1

    f (2) = a · (2)² + b · (2) + c

    -1 = a · 4 + 2b + c

    -1 = 4a + 2b + c

    4a + 2b + c = -1

Temos um sistema de três equações

    $\left \{ {{a-b+c=-4} \atop {a+b+c=2}} \atop {4a+2b+c=-1}\right.$

Vamos resolver a primeira e a segunda equações para eliminarmos o b

    a - b + c = -4

    a + b + c = 2

    2a  + 2c = -2

Agora, vamos resolver a primeira e a terceira equações para eliminarmos o b

      a -    b + c = -4

    4a + 2b + c = -1

   

    Multiplique a primeira equação por 2 para eliminarmos o b

    2a - 2b + 2c = -8

    4a + 2b +   c = -1

    6a         + 3c = -9

Formamos um novo sistema de duas incógnitas, a e c

    $\left \{ {{2a+2c=-2} \atop {6a+3c=-9}} \right.$

Multiplique a primeira equação por -3 para eliminarmos o a

    -6a - 6c = 6

    6a + 3c = -9

           -3c = -3  →  c = (-3) ÷ (-3)  →  c = 1

Substitua o valor de c em qualquer equação do sistema para calcularmos o a

    2a + 2c = -2  →  2a + 2 · 1 = -2  →  2a + 2 = -2  →  2a = -4  →  a = -2

Tendo os valores de a e c, substitua-os em qualquer equação de três incógnitas para calcularmos o b

    a - b + c = -4

    -2 - b + 1 = -4

    -1 - b = -4

    -b = -4 + 1

    -b = -3

    b = 3

A função quadrática será:  f (x) = -2x² + 3x + 1

Cálculo do produto  a · b · c

    a · b · c = (-2) · (3) · (1) = -6

Resposta:  -6