Question

Considere a função f(x)=1-(4x/(x+1)²), a qual está definida para x≠-1. Então, para todo x≠1 e x≠-1, o produto f(x)F(-x) ݂é igual a

a) -1
b) 1
c) x+1
d) x²+1
e) (x-1)²

Answer 1

I) Para determinarmos x ≠ -1, temos:

f(x) = 1 - $\frac{4x}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-4x}{(x+1)^2}=$
$\frac{ x^{2} +2x+1-4x}{(x+1)^2}$ = $\frac{ x^{2} -2x+1}{(x+1)^2}$ = 
= $\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ = $( \frac{x+1}{x-1})^2$



II) Para x≠1, obtemos:

f(-x) = 1 - $\frac{4(-x)}{(-x+1)^2} =$ = $\frac{(1-x)^2+4x}{(1-x)^2}$ = 
= $\frac{1-2x+ x^{2} +4x}{(1-x)^2}=$
= $\frac{ x^{2} +2x+1}{(1-x)^2}=$
= $\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}$ = $(\frac{x+1}{x-1})^2$ = 



III) Para x ≠ -1 e x ≠1, temos:

f(x) . f(-x) = $(\frac{x-1}{x+1})^2.( \frac{x+1}{x-1})^2=<strong>1</strong>$

Deve ser assinalada a letra B.

Answer 2

O produto f(x).f(-x) é igual a 1.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Sabemos que f(x) = 1 - (4x/(x+1)²);
• Substituindo x por -x, temos que f(-x) = 1 + (4x/(-x+1)²);

Utilizando essas informações,  desenvolvendo as funções, temos:

f(x) = ((x+1)² - 4x)/(x+1)²

f(x) = (x² + 2x + 1 - 4x)/(x+1)²

f(x) = (x² - 2x + 1)/(x + 1)²

f(x) = (x - 1)²/(x + 1)²

f(-x) = ((-x+1)² + 4x))/(-x+1)²

f(-x) = (x² + 2x + 1)/(-x+1)²

f(-x) = (x + 1)²/(-x + 1)²

Como (-x + 1)² = (x - 1)², temos que f(-x) pode ser escrito como:

f(-x) = (x + 1)²/(x - 1)²

O produto das funções será:

f(x).f(-x) = (x - 1)²/(x + 1)² . (x + 1)²/(x - 1)²

f(x).f(-x) = 1

Resposta: B

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