Question

Considere a função f dada por f (x) = l oga x. Se f (a) = b e f (a + 2) = b + 1, encontre quais devem ser os valores de a e b para que f esteja bem definida.

Answer 1

Com base na função logarítmica descrita, temos que os valores de a e b, para que f esteja bem definida, são, respectivamente, 2 e 1.

Para chegar a essa resposta é importante entender os conceitos por trás desse tipo de função.

Função Logarítmica

• Define-se logaritmo como o expoente que se deve elevar uma base, de modo que o resultado seja uma determinada potência, ou seja, $log_{x} y = z$ ⇔ $x^{z} = y$.
• Vale lembrar que se $\alpha ^{\beta } = \alpha$ então β = 1, logo, se $log_{\alpha}\alpha = \beta$, então β = 1.

Com base nessas informações, agora é possível calcular o que se pede.

Dada a função:

$f(x) = log_{a} x$

Se f(a) = b, então:

$f(a) = log_{a} a = b$

Considerando que uma das propriedades da função logarítimica é que o log de n na base n, para qualquer n, é igual a 1, temos que:

b = 1

Agora, se f(a+2) = b + 1, temos:

$f(a+2) = log_{a} (a+2) = b + 1$

$log_{a} (a+2) = 2$

Pela definição de logaritmo:

a² = a + 2

a² - a - 2 = 0

a = 2 ou a = -1

Para a questão, a resposta seria portanto a = 2 e b = 1.

Aprenda mais sobre a função logarítmica aqui:

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