Question

Considere a equação (a-bi)^501=2(a+bi)/(a^2+b^2)^250+1. O número de pares ordenados (a, b) pertence aos R que satisfazem a equação é :

Answer 1

Olá, Emanueli :)

Para reduzir as variáveis, vamos usar apenas um complexo:

$\mathsf{z = a+bi}$

Com isso, podemos afirmar que:
$\mathsf{\overline{z} = a-bi}$

$\mathsf{|z| = \sqrt{a^2+b^2}}$

Então vamos atacar o problema  reescrevendo:


$\mathsf{(\overline{z})^{501} = \dfrac{2z}{|z|^{500} + 1}}$

Veja que o denominador ficou em função do módulo de z, e o raciocínio empregado foi apenas de "tirar a raiz e elevar ao quadrado", que é válido, pois a² > 0 e b² > 0.

Multiplicamos esquerda e direita por $\mathsf{z^{501}}$  e lembramos que: $\mathsf{z\cdot \overline{z} = |z|^2}$

$\mathsf{\overline{z}^{501}\cdot z^{501} = \dfrac{2z\cdot z^{501}}{|z|^{500}+1}}\\ \\ \\ \mathsf{|z|^{1002}=\dfrac{2z^{502}}{|z|^{500}+1}}$

Vamos lidar apenas com os módulos para conseguirmos criar um polinômio:

$\mathsf{||z|^{1002}|=\left|\dfrac{2z^{502}}{|z|^{500} + 1}\right|}$

O primeiro membro já é um módulo, então podemos retirar o módulo externo. O denominador também apresenta módulo igual a ele mesmo. O que muda é o numerador, que passa a apresentar |z| ao invés de z.

$\mathsf{|z|^{1002}\cdot(|z|^{500} + 1) -2|z|^{502} = 0}\\ \\ \star \mathsf{|z|^{502}(|z|^{1000}+|z|^{500} - 2) = 0}$

Caso 1: |z| = 0, que implica z = 0. Como z é um par ordenado (a, b), já temos uma solução.

Vamos escrever $\mathsf{|z|^{500} = x}$ . Assim, o segundo par de parênteses igualado a zero fica:

$\mathsf{x^2 + x - 2 = 0}\\ \\ \Delta = 9\\ \\ \mathsf{x = \dfrac{-1\pm3}{2}}\\ \\ \mathsf{x_1 = -2, \ \ \ x_2 = 1}$

Porém, como x = |z| ≥ 0, a única solução que convém é |z| = 1.

Porém, não queremos |z|, e sim z. Para isso, voltamos na nossa equação que relaciona módulos com z:

$\mathsf{|z|^{1002} = \dfrac{2z^{502}}{|z|^{500} + 1}}\\ \\ \mathsf{1 = \dfrac{2z^{502}}{2}}\\ \\ \mathsf{z^{502} = 1}$

Vejá só, temos um polinômio de grau 502. Assim, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, existem 502 raízes complexas.

Como o zero também é raíz(e veja que zero a qualquer expoente não resulta em 1, logo, não pode estar nessas 502 raízes), podemos concluir que o polinômio apresenta 502 + 1 = 503 raízes(ou pares (a, b) )


Bons estudos :)