Question

Conhecendo que o lado l do decágono regular inscrito numa circunferência de raio R ´e l = R 2 ( √ 5 − 1), determine sen π 10

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$I=\frac{R(\sqrt{5}-1) }{2}\\\\\frac{I}{2}=\frac{R(\sqrt{5}-1) }{4}$

ângulo externo é igual ao ângulo central : 2π/10 = π/5

Metade do ângulo central é π/5: 2 = π/10

sen$sen\frac{\pi }{10}=\frac{\frac{R(\sqrt{5}-1) }{2} }{2R}=\frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}*\frac{1}{2R}=\frac{\sqrt{5}-1 }{4}$

Answer 2

Resposta: sen(pi/10) = sen(18°) = [raiz de(5) - 1]/4

Explicação passo-a-passo:

Conheço outro jeito de calcular o seno de pi/10 rad = 18°. Tal resolução não depende da medida do lado do decágono regular inscrito, dependendo apenas de algumas fórmulas da Trigonometria. Listarei abaixo (com o símbolo #) as fórmulas utilizadas ao longo da resolução. Posto isto, temos:

# Sabe-se que sen(2x) = 2sen(x)cos(x), para todo x real. Tal relação é conhecida como Identidade Trigonométrica do Arco Duplo.

# Da Trigonometria, é sabido que sen(x) = cos(90° - x) e cos(x) = sen(90° - x), para qualquer que seja x em graus. Tais fórmulas são conhecidas como Identidades do Arco Complementar.

# Também sabemos que cos(2x) = 1 - 2sen²(x) = 2cos²(x) - 1, para todo x real. O que também são Identidades do Arco Duplo (para o cosseno).

# Existe a relação 2sen(x)cos(y) = sen(x + y) + sen(x - y), para todo x e y reais. Tal identidade trigonométrica é uma das Fórmulas de Prostaférese (ou Werner), muito útil na transformação de somas de expressões trigonométricas em produtos.

Assim sendo, vamos calcular o sen(18°), partindo de cos(18°). Portanto, obteremos as seguintes igualdades:

cos(18°) * = sen(90° - 18°) =

sen(72°) = sen(2.36°) =

2sen(36°)cos(36°) =

2sen(2.18°)cos(36°) =

2[2sen(18°)cos(18°)]cos(36°) **

Igualando * e **, ficaremos com:

2[2sen(18°)cos(18°)]cos(36°) = cos(18°) =>

2[2sen(18°)cos(36°)] = 1 =>

2[sen(18° + 36°) + sen(18° - 36°)] = 1 =>

2[sen(54°) + sen(- 18°)] = 1 =>

2[cos(90° - 54°) - sen(18°)] = 1 =>

2[cos(36°) - sen(18°)] = 1 =>

2[cos(2.18°) - sen(18°)] = 1 =>

2[1 - 2sen²(18°) - sen(18°)] = 1 =>

2 - 4sen²(18°) - 2sen(18°) = 1 =>

- 4sen²(18°) - 2sen(18°) + 2 - 1 = 0 =>

- 4sen²(18°) - 2sen(18°) + 1 = 0 =>

4sen²(18°) + 2sen(18°) - 1 = 0 ***

Na equação ***, fazendo sen(18°) = k e lembrando que 0° < 18° < 90° (é ângulo agudo), temos que o seno de 18° é positivo (sen(18°) > 0). Portanto, basta pegar a raiz positiva da equação 4sen²(18°) + 2sen(18°) - 1 = 0, que por sua vez será equivalente a 4k² + 2k - 1 = 0 (com k = sen(18°) > 0). Assim sendo, temos que a raiz positiva da equação *** será:

k = sen(18°) = [raiz de(5) - 1]/4

Abraços!