Question

Como se resolve a questão 8?

Answer 1

se tentarmos substituir 2 vamos ter 0/0, vou usar o seguinte limite $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h-1}{h}=1$

8. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2-4}{e^{x-2}-1}$

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(\dfrac{e^{x-2}-1}{x^2-4}\right)^{-1}\\\\\left(\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{e^{x-2}-1}{x^2-4}\right)^{-1}\\\\\left(\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{e^{x-2}-1}{(x-2)(x+2)}\right)^{-1}\\\\\left(\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{e^{x-2}-1}{x-2}\cdot\dfrac{1}{x+2}\right)^{-1}\\\\\left(\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{e^{x-2}-1}{x-2}\cdot\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{x+2}\right)^{-1}$

Agora em $\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{e^{x-2}-1}{x-2 }$ vou fazer uma substituição de variavel, e vai ser $h=x-2$ e como $x\to 2$ então $h\to 0$, dai

$\left(\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}\cdot\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{x+2}\right)^{-1}\\\\\left(\overbrace{\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}}^{1}\cdot\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{x+2}\right)^{-1}\\\\\left(1\cdot\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{1}{x+2}\right)^{-1}\\\\\left(\dfrac{1}{2+2}\right)^{-1}\\\\\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1}\\\\4$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

2) e^1/0 =

Temos que estudar.

e + + + + + + + + + + + + + + + + +

x-1------------------( 1) + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + +

O limite procurado pela esquerda é -∞ e pela direta é ∞, portanto o limite com x -->1 não existe, porque os limites laterais são desiguais.

5) (1-e^x)/3x =

-(e^x -1)/3x =

(-1/3).(e^x – 1)/x

Lim e^x – 1)/x, com x ----> 0 é lne que é igual a 1.. Portnato (-1/3).1 = -1/3.

8) (x² - 4)/[x^(x-2) – 1] = divide numerador  e denominador por x-2, no intuito de fazer aparecer a forma do limite fundamental.

(x² - 4)/(x-2)/[e^(x-2) – 1]/(x-2)

[(x - 2)(x+2)/(x-2)]/[e^(x-2) – 1]/(x-2), cancela x-2, no numerador.

(x+2)/[e^(x-2) – 1]/(x-2) =

x-2 = v. Logo x = v+2, substitui, lembrando que quando x --> 2, v vai tender para zero.

lim (x+2)/[e^(x-2) – 1]/(x-2), com x --> 2 é igual

lim (v+4)/[e^v – 1]/v =

(0+4)/lne =

4/1 = 4

11) [ ln²(x+1)]/2x =

[ln(x+1)]/2 . [ln(x+1)]/x =

[lim ln(x+1)]/2 . [lim ln(x+1)]/x =

(ln1)/2 . ln(lim(x+1)^(1/x) =

0/2 . lne

0 . 1 =

0