Question

como se resolve a integral y*cosec(3y^2)*cotg(3y^2)*dy

Answer 1

Leia " { " como integral

{y*cosec(3y^2)*cotg (3y^2)*dy

por substituição vc substitui 3y^2 por u

3y^2 = u
(nesse passo devemos derivar)
regra: y=u^n → y' = n*u^(n-1)

Então:
6ydy=du
dy = du/6y

Substituímos na equação

{y*cosec(u)*cotg (u)*du/6y
Aqui podemos cortar os y e passar a constante 1/6 pra fora da integral
1/6{cosec(u)*cotg(u)*du

Vamos na tabela de integral e achamos:
1/6(-cosec(u) + C)

Colocando o valor de y novamente encontramos:
-1/6cosec(3y^2) + C

Answer 2

Olá.

$\displaystyle \mathsf{ \int y \cdot cosec(3y^2) \cdot cotg (3y^2) \, \, dy } \\ \\ \\ \mathsf{ u = 3y^2 } \\ \\ \mathsf{ du = 6y \, dy } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{y}{6y} \cdot \int cosec(u) \cdot cotg (u) \, \, du } \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{6} \cdot \int cosec(u) \cdot cotg (u) \, \, du }$

Usando as seguintes identidades:

$\displaystyle \mathsf{cosec(u) = \frac{1}{sen(u)}} \\ \\ \\ \mathsf{ cotg(u) = \frac{cos(u)}{sen(u)} }$

Temos:

$\displaystyle \mathsf{\frac{1}{6} \cdot \int \frac{cos(u)}{sen^2(u)} \, \, du} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{sen^2(u)} \cdot cos(u) \, \, du} \\ \\ \\ \mathsf{v=sen(u)} \\ \\ \mathsf{dv=cos(u) \, \, du} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{v^2} \, \, dv} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{6} \cdot \bigg( -\frac{1}{v} \bigg) + c} \\ \\ \\ \mathsf{-\frac{1}{6v}+c}$

Nossa integral será:

$\displaystyle \mathsf{-\frac{1}{6 \cdot sen(u)}+c} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \mathsf{-\frac{1}{6 \cdot sen(3y^2)}+c} }}$