Question

Como se calcula a soma dos infinitos termos de uma P.G?
Se possível, explique.

Answer 1

- Utilizaremos a seguinte fórmula:

$\boxed{\boxed{S_n=\dfrac{a_1}{1-q}}}$

q = razão
a₁ = 1° termo
Sn = a soma desses termos.

$\Large{\boxed{\boxed{Exemplo}}$

- Calcule a soma dos infinitos termos da seguinte PG:

( 2,4,8,...)

q = a₂ / a₁
q = 4/2
q = 2

somando.

$Sn = \dfrac{2}{1-2}\\\\ Sn = -2$

Answer 2

Bom, a fórmula que define a soma infinita de uma pg é S = a1/1 - q
A demonstração/explicação envolve conceitos de Séries e Sequências, que só é visto em Cálculo 2, mas vou dar uma resumida pra você:

Temos que a soma de uma PG finita é:

Sn = a1 . q^n -1/q -1, 

Só que para a pg ser finita, o q deve estar no intervalo [-1,1]. Nesse, caso, quanto maior o expoente do q, mais ele se aproxima de 0. Dessa forma, como nosso n está indo para infinito, nosso q^n irá para o 0, daí reescrevemos:

Sn = a1 . (0 -1)/q-1
Sn = -a1/q-1, se multiplicarmos em cima e embaixo por -1, obtemos:

Sn = a1/1 - q, c.q.d.