Como saber se uma função admite inversa.
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Resposta:
Uma função só admite inversa à esquerda, se, e somente se, a função for Injetora, e à direita se a função for Sobrejetora. Em outras palavras, quando uma função admite uma inversa, o domínio da função f será o contradomínio da função f-1.
Uma função só admitirá inversa se e somente se ela for bijetora. Mas o que significa isso ?
- Isso significa que essa função deve ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo para admitir inversa.
Função Injetora
Uma função é injetora se cada elemento do domínio possuir um único correspondente no contradomínio.
Lembrando que :
- Domínio → Conjunto dos valores possíveis de x
- Contradomínio → Conjunto que possui todos os valores y obtidos ao se aplicar a lei da função
Vamos pegar uma função quadrática para ajudar a elucidar o conceito de função injetora. Supondo por exemplo a função :
y = x²
E vamos dizer que eu queira saber quais os valores de x que tem um y igual a 4 como correspondente. Para fazer isso é só substituir o y por 4 na lei da função.
x² = 4
x = √4 → x = 2 ou x = (-2)
Observe que para um mesmo y eu tenho dois valores de x que são os seus correspondentes. Como isso acontece então essa função NÃO É INJETORA.
- Nas funções injetoras elementos diferentes do domínio não podem ter o mesmo correspondente no contradomínio.
Se essa função não é injetora então ela não pode admitir inversa.
Função Sobrejetora
Uma função é sobrejetora se todos os elementos do contradomínio possuírem um correspondente no domínio.
- Ou seja, não podem sobrar elementos sozinhos no contradomínio
Vamos novamente utilizar um exemplo para entendermos melhor esse conceito. Nesse caso eu irei optar por usar a mesma função anterior outra vez.
Só que agora o nosso contradomínio não será mais o conjunto dos números reais mas sim o conjunto dos números Reais POSITIVOS.
Se o nosso y só pode assumir valores maiores que zero então ele sempre terá algum x como correspondente já que não existe nenhum número que quando elevado ao quadrado resulte em um valor negativo.
Contradomínio → Reais Positivos
O y poderá assumir qualquer valor positivo. (Desde números inteiros até números com vírgula, números com raízes exatas ou não exatas). Isso não vai importar porque ele sempre terá um correspondente. Ex:
Se o y for 4 então x' e x'' vão ser 2 e -2.
Se o y for 2 então x' e x'' vão 1,4 e -1,4.
- Lembrando que, aqui não importa se os valores de x serão positivos ou negativos ou se cada y tem mais de um correspondente. O que importa é que y sempre terá algum x como parzinho.
Mas então o que aconteceria se o nosso contradomínio fosse somente o conjunto dos Reais sem nenhuma restrição ?
No conjunto dos Reais nós trabalhamos com números positivos e negativos, ou seja, o nosso y poderia assumir um valor negativo. Supondo que :
y = x² e y = -4
Existe algum número real que quando elevado ao quadrado resulte em um número negativo ? Não. Observe que nesse caso então nós teríamos um valor do contradomínio que não tem parzinho nenhum.
- Nesse caso a função deixaria de ser sobrejetora.