Question

como resolver uma integral do tipo: integral x3sen(x^2)dx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{-\dfrac{x^2\cos(x^2)}{2}+\dfrac{\sin(x^2)}{2}+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int x^3\sin(x^2)\,dx$

Comecemos separando o integrando como um produto da seguinte forma:

$\displaystyle{\int x^2\cdot x\sin(x^2)\,dx$

Então, utilizamos a técnica de integração por partes: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$.

Como critério de escolha para a variável $u$, utilizamos a propriedade LIATE: dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Logo, seja $u=x^2$ e $dv=x\sin(x^2)\,dx$. Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$:

$u'=(x^2)'\\\\\\ du=2x\,dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int x\sin(x^2)\,dx$

Nesta integral, fazemos uma substituição $t=x^2$. Diferenciamos ambos os lados desta expressão:

$dt=2x\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$\dfrac{dt}{2}=x\,dx$

Observe que esta expressão já está presente na integral, logo:

$\displaystyle{\int dv=\int \sin(t)\cdot\dfrac{dt}{2}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$ e calcule a integral da função seno:

$v=-\dfrac{\cos(x^2)}{2}$

Substituindo estes termos na fórmula de integração por partes, teremos:

$x^2\cdot \left(-\dfrac{\cos(x^2)}{2}\right)-\displaystyle{\int -\dfrac{\cos(x^2)}{2}\cdot 2x\,dx$

Multiplique os valores

$-\dfrac{x^2\cos(x^2)}{2}+\displaystyle{\int x\cos(x^2)\,dx$

Então, faça novamente uma substituição $k=x^2$. Diferenciamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $dk$:

$k'=(x^2)'\\\\\\ dk=2x\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$\dfrac{dk}{2}=x\,dx$

Substitua este elemento na integral

$-\dfrac{x^2\cos(x^2)}{2}+\displaystyle{\int \cos(k)\cdot\dfrac{dk}{2}$

Aplique a regra da constante e calcule a integral da função cosseno

$-\dfrac{x^2\cos(x^2)}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\sin(x^2)$

Multiplique os valores e adicione a constante de integração

$-\dfrac{x^2\cos(x^2)}{2}+\dfrac{\sin(x^2)}{2}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.