Matemática, perguntado por roocarvalho0, 4 meses atrás

Como resolver o limite em anexo?
OBS: o denominador está em módulo.

obrigado!

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras
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Temos o seguinte limite:

 \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \bullet \:  \:  \:   \sf \lim_{x \to3} \frac{(x - 3) {}^{3} }{ |3 - x| } \:  \:  \bullet  \\

Para iniciar a resolução, devemos primeiro lembrar a definição de módulo:

  \sf|x| =   \begin{cases} \sf x,  \: se \: x  \geqslant  0 \\  \sf - x,  \: se \: x < 0\end{cases}

Aplicando essa definição na expressão do numerador, temos que:

 \sf  |3 - x|  =  \begin{cases} \sf 3 - x ,  \: se  \: x \geqslant 3 \\   \sf  - (3 - x), \:  se \: x < 3\end{cases}

Ou seja, vamos trabalhar com os limites laterais.

  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \sf \lim_{x\to a^+}  f(x) =\lim_{x\to a^ - } f(x)\\

Substituindo nossas informações:

  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \sf \lim_{x\to 3^+}  f(x) =\lim_{x\to 3^ - } f(x)\\

Quando x tende a 3 pela direita, quer dizer então que x se aproxima de 3 por valores maiores que ele, ou seja, deve-se utilizar a relação correspondente a x ≥ 3, assim como quando x tende a 3 pela esquerda, utiliza-se a expressão quando x < 3. Substituindo os dados:

 \sf \lim_{x\to 3^+}   \frac{( x - 3) {}^{3} }{3 - x} = \lim_{x\to 3^ - }  \frac{(x - 3) {}^{3} }{ x - 3}  \\  \\ \sf \lim_{x\to 3^+}   \frac{( x - 3).(x -  3).(x - 3) }{3 - x} = \lim_{x\to 3^ - }  \frac{(x - 3) {}^{3} }{ x - 3} \\  \\  \sf \lim_{x\to 3^+}  \frac{ - 1.(3 - x).(x - 3).(x - 3)}{3 - x}  = \lim_{x\to 3^ - } (x - 3) {}^{2}  \\  \\  \sf \lim_{x\to 3^+}  - 1.(x - 3).(x - 3)  = \lim_{x\to 3^ - } (x - 3) {}^{2}  \\  \\  \sf \lim_{x\to 3^+}   - (x - 3) {}^{2}  = \lim_{x\to 3^ - } (x - 3) {}^{2}

Substituindo o valor a qual o x tende:

   \sf \lim_{x\to 3^+}   -(3 - 3) {}^{2}   = \lim_{x\to 3^ - } (3 - 3) {}^{2}  \\  \\    \boxed{\sf  0 = 0}

Ou seja, podemos dizer que o limite bilateral da função quando x tende a 3, resulta em 0.

 \boxed{ \sf \lim_{x\to 3}  \frac{(x - 3) {}^{3} }{ |3 - x| }  = 0}

Espero ter ajudado


roocarvalho0: ajudou mto! obrigado!!!
Vicktoras: por nada
roocarvalho0: Bom dia! Será q vc conseguiria me ajudar na outra questão q postei? Pode desenvolve-la? Me ajuda mto para entendimento.
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