Question

Como e que determine x de maneira que os pontos A(3,5),B(1,3)eC(x,1) sejam véstices de um triângulo?

Answer 1

Para que esses pontos sejam coordenadas das vértices de um triângulo qualquer, basta que eles não sejam colineares, ou seja, não pertençam  na mesma linha: Vamos encontrar uma reta que compreende A e B e garantir que C não está nesse reta:

1° - Encontrado a reta de A e B:

y = ax + b

5 = 3a + b
3 = a + b

Somando a primeira com o negativo da segunda:

5 = 3a + b
-3 = -a - b

2 = 2a

a = 1

5 = 3(1) +b
5 - 3 = b
2 = b

reta que compreende esses dois pontos é:

y = 2x + 2

Vamos substituir o ponto C:

1 = 2(x) + 2

1 - 2 = 2x
-1 = 2x

x = -1/2

Se x for igual a -1/2, os três pontos pertencem a mesma reta, então para que os pontos seja vértices de um triângulo, basta que x seja diferente de -1/2.

x ≠ -1/2

Answer 2

D= x1  y1   1  x1  y1
     x2   y2   1  x2  y2
     x3   y3   1  x3  y3

D = 3    5    1   3   5
       1   3     1   1   3
       x   1      1   x   1
D = (9 + 5X + 1) - (3X + 3 + 5)
D= (5x + 10 ) - (3x + 8)
D = 5X + 10 - 3X -8
D = 2x + 2
D ≠ 0 para que os pontos sejam vértices de um triângulo é preciso que o determinante seja diferente de zero.
Então:
2x + 2 ≠ 0
2x ≠ -2
x ≠ -2 :2
x ≠ -1