Question

Para registrar o resultado das operação $2^{101} * 5^{97}$ , o número de dígitos necessários é?

a) 96
b) 97
c) 98
d) 99

Answer 1

Olá Poke.


Organizando e resolvendo a equação:


$\mathsf{2^{101}\cdot 5^{97}}\\\\\mathsf{2^{97+4}\cdot 5^{97}}\\\\\mathsf{2^{97}\cdot2^{4}\cdot 5^{97}}\\\\\mathsf{10^{97}\cdot 16}$


Para saber quantos zeros possui em uma potência de 10, basta ver o valor do expoente. Como 10 está elevado a 97, significa que ele possui 97 zeros.

Nesse caso temos $\mathsf{10^{97}}$ multiplicando 16. Será então acrescentados 97 zeros ao 16 que possui 2 dígitos.

Portanto, temos:

97 + 2 = 99

Resposta (d)


Dúvidas? comente.

Answer 2

Vamos lá.

Nesta questão, embora a resolução do Superaks esteja muito bem colocada, mas eu preferiria fazer por logaritmos.
Raciocinando assim, então vamos igualar a expressão dada a um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa. Assim, teremos:

y = 2¹⁰¹ * 5⁹⁷ ----- agora vamos aplicar logaritmo (na base 10) a ambos os membros, com o que ficaremos:

log₁₀ (y) = log₁₀ (2¹⁰¹ * 5⁹⁷) --- vamos transformar o produto em soma, ficando:
log₁₀ (y) = log₁₀ (2¹⁰¹) + log₁₀ (5⁹⁷) ---- passando os expoentes multiplicando, teremos:

log₁₀ (y) = 101*log₁₀ (2) + 97*log₁₀ (5)

Agora veja que:
log₁₀ (2) = 0,30103 (bem aproximado).
log₁₀ (5) = 0,69897 (bem aproximado).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

log₁₀ (y) = 101*0,30103 + 97*0,69897
log₁₀ (y) = 30,40403 + 67,8000
log₁₀ (y) = 98,20403

Agora note: a característica do log₁₀ (y) é igual a 98 (que é a parte que está antes da vírgula), enquanto a mantissa é igual a "0,20403" (que é a parte que vem depois da vírgula).

Então, note isto e nunca mais esqueça: a característica do logaritmo de um número é sempre menor uma unidade do que os dígitos desse número.
Por exemplo, o número "1.000" tem 4 dígitos e o log₁₀ (1.000) = 3,0000 , ou seja, o número "1.000", que tem 4 dígitos, a característica do seu logaritmo é igual a "3". Ou, em outras palavras,  o número "1.000", cujo logaritmo tem característica igual a "3", tem 4 dígitos (o que equivale a: característica+1 = 3+1 = 4).

Assim, por similitude, então o número "y" da sua questão, que tem "98" como característica, então esse número terá o seguinte número de dígitos:

98 + 1 = 99 <--- Esta é a resposta. O número dado terá 99 dígitos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.