Question

Como determinar o domínio das funções

Answer 1

Domínio é simples, e um porre cara, mas tu tem que saber principalmente se for encarar limite/derivada/integral/Qualquer coisa em matemática...

Bem, pra "achar" o domínio tu tem que fazer a pergunta: "Onde é que essa equação vai dar problema?", ou seja, onde que essa equação não vai existir?!

Vamos lá:

1) $y= \sqrt{x+9}$ 

Temos aqui a clássica, a raiz quadrada. Sabemos que a raiz quadrada existe para todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja: {x∈R | x≥0}.

"Achado" o domínio temos que determinar pra qual valor ela não vai existir, ou seja: Temos que fazer a inequação do que está dentro da raiz e zero.

⇒Porque a que está dentro?
Porque é ela que determina o valor, ou seja, é ela que tem que ser maior ou igual a zero.

$Logo:\\ \\x+9 \geq 0 \\ \\ x \geq -9$ 

Então, o maior valor que temos para x é o -9, se ele passar disso, atingindo o valor de -10 ele tem resultado negativo, e não existe raiz quadrada de numero negativo.

Então o dominio é: 

{x∈R| x≥-9} ou [-9,+∞[ 


b) $y= \sqrt[3]{2x-7}$

Diferente da raiz quadrada, a raiz cubica de um numero não tem nenhum problema de existência. Nela podemos ter valores negativos e positivos, não precisamos nem fazer conta. :) 

Então o dominio é: 

{x∈R} ou ]-∞,+∞[ 

c) $y= \frac{ \sqrt{3x+2} }{x}$

Nesse caso temos 2 problemas, o de "cima" da fração, que é uma raiz quadrada, então teremos que fazer o estudo do sinal da equação (checar para qual valor a função existe) que está dentro dela para determinar para qual numero ela e maior ou igual a zero. 
E na parte de "baixo", pois como é uma fração, sabemos que não existe divisão por zero, logo o valor da equação na parte de "baixo" terá que ser diferente de zero.

Então:

$3x+2 \geq 0 \\ \\ 3x \geq -2 \\ \\ x \geq \frac{-2}{3}$

e

$x \neq 0$ 

Bem, então agora somamos os dominios, temos:

{x∈R | $\frac{-2}{3}$≤x<0 e 0<x<+∞} ou [$\frac{-2}{3}$,0[ e ]0,+∞[

d) $y=\frac{x+1}{ \sqrt{x-2} }$

Bem, essa daqui, parece mais complicada que a primeira, mas na verdade é mais facil, já que não precisamos fazer o estudo de sinal da parte de "cima" da fração, pois ela existe para todos valores reais.
Já a parte de "baixo", sabemos que ela tem que ser diferente de zero e por ser um raiz quadrada ela tem que ser maior ou igual que zero.
Aqui, nesse caso, vamos fazer o estudo de sinal da equação dentro da raiz, mas vamos ignorar o valor em que ela é igual a zero, pois não existe divisão por zero, entendeu? 

$Logo \\ \\ x-2 \ \textgreater \ 0 \\ \\ x\ \textgreater \ 2$

Então o dominio é:

{x∈R|x>2} ou ]2,+∞[

e) $y=\frac{ \sqrt{3+x} }{ x^{3}-x }$

Mesma coisa, a parte de "cima" da fração tem que ser maior ou igual a zero, e a parte de baixo diferente de zero.

$Entao \\ \\ 3+x \geq 0 \\ \\ x \geq -3$

e

$x^{3}-x \neq 0 \\ \\ x(x^{2}-1) \neq 0 \\ \\ logo: \\ \\ 1)x \neq 0 \\ \\ e \\ \\ (x^{2}-1) \neq 0 \\ \\ x^{2} \neq +1 \\ \\ x \neq \sqrt{1} \\ \\2) x \neq +1 \\ e \\ 3)x \neq -1$

Ps: Lembre-se, quando tira raiz quadrada de um número você obtêm duas respostas, uma positiva e outra negativa.

Agora, devemos somar todos esses resultados que não podem ser (1,2 e 3), e montamos o dominio:

Dominio: [-3,-1[ e ]-1,0[ e ]0,1[ e ]1,+∞[

:)