Question

Com o intuito de construir um jogo novo, foram colocados sobre um tabuleiro de xadrez grãos de arroz da seguinte maneira: na primeira casa, foram colocados 5 grãos; na segunda, 9; na terceira, 13; e assim por diante. Quantos grãos de arroz foram usados nesse tabuleiro?

Answer 1

Resposta:

8384 grãos de arroz

Explicação passo-a-passo:

O tabuleiro de xadrez tem 64 casas (32 pretas e 32 brancas). Então, de acordo com os dados do problema, foram colocados grãos de arroz em 64 casas. As quantidades de grãos em cada casa formam a seguinte sequência:

(5, 9, 13, ...). Essa sequência é uma progressão aritmética de razão r = 4 (vai amentando de 4 em 4). O total de grãos de arroz é:

5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + ...

Nessa soma cada número representa a quantidade de grãos de areia em cada uma das casas do tabuleiro de xadrez. Então, nessa soma temos 64 parcelas (números).

A soma $S_n$ dos termos de uma progressão aritmética de $n$ termos, de primeiro termo $a_1$ e último termo $a_n$ é dada por:

$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Antes de usarmos essa fórmula, precisamos saber o valor do último termo, ou seja, quantos graus de areia tem na casa de número 64.

A fórmula do termo geral da progressão aritmética de $n$ termos, razão $r$ e primeiro termo $a_1$ é:

$a_n=a_1+(n-1) \cdot r\\\\a_{64}=5+(64-1)\cdot 4\\\\a_{64}=5+63 \cdot 4\\\\a_{64}=5+252\\\\a_{64}=257$

Voltando à fórmula de $S_n$, temos:

$S_{64}=\frac{(5+257) \cdot 64}{2} =\frac{262 \cdot 64}{2} =262 \cdot 32=8384$ (Simplifiquei a fração dividindo 64 por 2, que deu 32).