Question

(Colégio Naval) Sejam y e z números reais distintos e não nulos, tais que

$\dfrac{4}{yz}+\dfrac{y^2}{2z}+\dfrac{z^2}{2y}=3$

Qual é o valor de y + z ?

Answer 1

$\frac{4}{yz} + \frac{y^{2} }{2z} + \frac{z^{2} }{2y} = 3$   =>   Multiplicando por $2yz$

$8 +$ $y$³ $+ z$³ $= 6yz$

$y$³ $+ z$³ $= 6yz - 8$

Facilmente se vê que y = -1 e z = -1 atende   =>   (-1)³ + (-1)³ = 6(-1)*(-1) - 8     => - 1 - 1 = 6 - 8    =>    - 2 = - 2

Logo =>   y + z = - 2

Answer 2

Em primeiro lugar, o exercício nos dá a seguinte equação nas incógnitas y e z :

$\sf \dfrac{4}{yz}+\dfrac{y^2}{2\:\!z}+\dfrac{z^2}{2\:\!y}=3\qquad{(\:I\:)}$

Ainda de seu enunciado, extraímos também que y e z são números reais distintos e não nulos, isto é,

$\begin{cases}\sf y\neq z\\ \sf y\neq 0\\ \sf z\neq 0\end{cases}$

Fundamentado nas informações acima, ele solicita o valor da soma y + z. A fim de calcular este valor, precisamos relembrar de uma identidade algébrica famosíssima no universo dos vestibulares militares e olimpíadas, que é a identidade de Gauss. Esta nos garante que, para quaisquer x, y, z em ℂ (complexos), temos sempre

$\sf x^3+y^3+z^3-3\:\!xy\:\!z=\dfrac{(x+y+z)\!\:\!\big[(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\big]}{2}\qquad(\:II\:)$

Conhecendo a igualdade acima, vamos agora manipular algebricamente a equação ( I ) :

$\sf \dfrac{4}{yz}+\dfrac{y^2}{2\:\!\:\!z}+\dfrac{z^{\:\!2}}{2\:\!y}=3\\\\\\ \dfrac{4}{yz}\cdot \dfrac{2}{2}+\dfrac{y^2}{2\:\!z}\cdot \dfrac{y}{y}+\dfrac{z^2}{2\:\!y}\cdot \dfrac{z}{z}=3\\\\\\ \dfrac{8}{2\:\!yz}+\dfrac{y^3}{2y\!\:\!\:\!\:\!z}+\dfrac{z^3}{2\:\!yz}=3\\\\\\ \dfrac{8+y^3+z^3}{2\:\!y\!\:\!\:\!\:\!z}=3\\\\\\ \dfrac{2^3+y^3+z^3}{2\:\! y\!\:\!\:\!z}=3\\\\\\ 2^3+y^3+z^3=3\:\!(2\:\!yz)\\\\\\ 2^3+y^3+z^3-3(2\:\!yz)=0\qquad (\:III\:)$

Note que o primeiro membro de ( III ) é justamente o que encontraríamos caso substituíssemos x por 2 em ( II ) (sim, parece mágica :O). Sendo assim, a equação ( III ) torna-se equivalente a

$\sf \dfrac{(2+y+z)\!\:\!\big[(2-y)^2+(2-z)^2+(y-z)^2\big]}{2}=0\\\\\\ \dfrac{(2+y+z)\!\:\!\big[(2-y)^2+(2-z)^2+(y-z)^2\big]}{\diagup\!\!\!\!2}\: \cdot \diagup\!\!\!\!2=0\cdot 2\\\\\\ (2+y+z)\!\:\!\big[(2-y)^2+(2-z)^2+(y-z)^2\big]\!=0\qquad(\: IIII\:)$

Sabemos que o produto de dois números reais quaisquer é igual a 0 (zero) se, e só se, pelo menos um deles for igual a 0. Posto isto, obteremos as duas seguintes possibilidades referentes à nulidade de cada um dos fatores no primeiro membro de ( IIII ) :

$\begin{cases}\sf 2+y+z=0\\ \\ \sf ou\\ \\ \sf (2-y)^2+(2-z)^2+(y-z)^2=0\end{cases}$

Entretanto, do início desta resolução, tiramos que y e z são reais distintos entre si, ou melhor,

$\sf y\neq z\\\\ y-z\neq0\\\\ (y-z)^2\neq 0^2\\\\ (y-z)^2\neq 0\\\\ (2-z)^2+(y-z)^2\neq0\qquad\big(pois\ (2-z)^2\!\:\!\:\!\geqslant 0\ \rightarrow\ \forall\, z\,\in\,\mathbb{R}\big)\\\\ (2-y)^2+(2-z)^2+(y-z)^2\neq 0\qquad \big(\:\!pois\ (2-y)^2\!\:\!\:\!\:\!\geqslant 0\ \rightarrow\ \forall\, y\, \in\, \mathbb{R}\big)$

Portanto, para que ocorra ( IIII ), devemos ter, obrigatoriamente,

$\sf 2+y+z=0\quad \implies\quad \boxed{\sf y+z=-2}$

Resposta: letra A).