Question

Certo artesão recebeu determinada encomenda de um cliente. Ele deseja que seja feita uma maquete de um prédio com 15 m de altura e 90 m de comprimento. No projeto desenhado pelo artesão, a representação do prédio deve ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto o comprimento é superior a 4 cm. O desenho deve ser feito em uma escala 1: k, sendo k um número natural cuja raiz quadrada é um número primo. A soma dos possíveis valores para raiz quadrada de k é igual a:

131
129
122
117
110​

Answer 1

Resposta:

a) 131

Explicação passo a passo:

Chamemos de x a quantidade de centímetros da altura da maquete.

Chamemos de y a quantidade de centímetros do comprimento da maquete. Vamos escrever a proporção que ele deseja em termos das duas dimensões (altura e comprimento).

$\frac{x}{1500} = \frac{1}{k} \ \ \ (x \in [0,5 \ ; 1])\\\\\frac{y}{9000} = \frac{1}{k} \ \ \ (y > 4)\\\\k = \frac{1500}{x} \\\\k = \frac{9000}{y} \\\\\frac{1500}{x} = \frac{9000}{y} \\\\\frac{1}{x} = \frac{6}{y} \\\\y = 6x$

Sabemos que y > 4, então:

$6x > 4\\x > \frac{4}{6} \\x > \frac{2}{3} = 0,666...$

Mas x só pode estar entre 0,5 e 1, então os valores possíveis de x até agora estão no intervalo $]\frac{2}{3} ;1]$

Vamos avaliar os valores de k nos extremos desse intervalo.

Para x = $\frac{2}{3}$:

$k = \frac{1500}{x} \Rightarrow k = \frac{1500}{\frac{2}{3}} \\ \bold{k = 2250}$

Para x = 1:

$k = \frac{1500}{x} \Rightarrow k = \frac{1500}{1} \\\bold{k = 1500}$

Então os possíveis valores de k estão no intervalo [1500 ; 2250[.

Porém, note que ele disse que k deve ter raiz quadrada número primo.

Números primos são números naturais.

Então k deve ser quadrado perfeito, do contrário sua raiz quadrada não será natural e muito menos número primo!

Os seguintes números naturais têm quadrado entre 1500 e 2250:

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

Desses números apenas 41, 43 e 47 são primos. Então os possíveis valores de k são 1681, 1849 e 2209.

Como ele quer a soma das raízes quadradas desses números:

41 + 43 + 47 = 131