Question

Certo corredor estava treinando para a próxima competição que haverá em sua cidade. Em dado dia de treinamento, partindo de um ponto A, correu 400 metros até o ponto B e, em seguida, correu até um ponto C, não colinear com A e B. Quando chegou ao ponto C, correu mais 700 metros até o ponto A, encerrando seu treinamento. Sabendo que a distância percorrida de B até C era um número inteiro múltiplo de 100, a soma dos possíveis valores para a distância entre B e C é:

3500m
4100m
4900m
5200m
5700m​

Answer 1

Após os devidos procedimentos, obteremos um valor para a soma das possíveis distâncias entre B e C igual a 4900 metros.

Primeira informação importante, teremos 3 pontos não colineares (não estão alinhados). Três pontos não colineares formam um triângulo!

Veja em anexo, uma representação gráfica do problema:

1. do ponto A ao ponto B são 400 metros;
2. do ponto B ele vai para o ponto C;
3. do ponto C ao ponto A são 700 metros.

Temos agora um triângulo, e para que um triângulo exista seus lados devem obedecer algumas regras, isto é, a Condição de Existência:

"Qualquer um de seus lados deve ser maior que a soma dos outros dois, e menor que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois."

$\Large \begin{array}{l}\boxed{|a - c| < b < a + c}\end{array}$

Se aplicarmos os valores que já sabemos:

$|400 - 700| < b < 400 + 700\\|-300| < b < 1100\\\\\boxed{300 < b < 1100}$

Deduzimos então que como "b" é inteiro e múltiplo de 100, teremos as seguintes soluções para a inequação:

S = {400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}

Se somarmos todos esses valores, teremos 4900 metros.

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