Question

(Cefet-SP)Sabendo que as equações de um sistema são x . Y= 50 e x+y= 15, quais são os possíveis valores para x e y?

Answer 1

Resposta:

x = 5 e y =10 ⇒ (5, 10) ou

x = 10 e y = 5 ⇒ (10, 5).

Explicação passo a passo:

Para resolver esse problema de modo rápido e fácil basta pensar um pouco em que par de números seria solução do sistema.

Ao pensar no par coordenado (5, 10) e/ou (10, 5) obtemos a resposta com sucesso. Para comprovar basta subsituir no sistema para validar essa estimativa.

x.y = 50

5.10 = 50 ou

10.5 = 50

x + y = 15

5 + 10 = 15 ou

10+5= 15

Agora de forma mais acadêmica temos que resolver o sistema de equações dada na situação-problema.  

$\left \{ {{x.y=50} \atop {x+y=15}} \right.$  

Pelo método da substituição:

1. Vamos isolar a incógnita y na equação II.

$x+y=15\\y=15-x$

2. Agora podemos substituir na equação I o valor de y obtido na equação II.

$x.y=50\\\\x.(15-x)=50\\15x-x^2=50$

3. Obtivemos uma equação do 2º grau, vamos reorganizar e determinar os possíveis valores de x através da fórmula de Bháskara.

$-x^2+15x-50=0\\x^2-15x+50=0\\a=1;b=-15;c=50$

Cálculo do Delta (D)

$D =b^2-4.a.c\\D =(-15)^2-4.1.50\\D =+225-200\\D =25$

x = (-b±√Δ)÷2.a

x = (+15±√25)÷2.1

x = (+15±5)÷2

$x_1 = \frac{15+5}{2} =\frac{20}{2} =10\\ou\\x_2 = \frac{15-5}{2} =\frac{10}{2} =5$

Por fim, agora basta determinar o valor de y em cada um dos dois casos. Assim:

Para x = 10, temos y = 5

$x.y=50\\10.y=50\\y=50/10\\y=5$

Para x = 5, temos y = 10

$x.y=50\\5.y=50\\y=50/5\\y=10$

Por fim os possíveis valores para x e y são o par de coordenadas (10,5) ou (5,10), intersecções de suas representações gráficas.

Observe a plotagem com a representação gráfica desse sistema no Geogebra.