Question

Cálculo George B. Thomas. Edição 11 volume 2
Capítulo 14.3

derivadas parciais de primeira ordem

3)

$F(x,y)= (x^2-1)\cdot (y+2)$

Encontre $\dfrac{\partial F}{\partial X} ~e~ \dfrac{\partial F}{\partial Y}$

Answer 1

Derivando parcialmente a função obtemos os seguinte resultados

$\dfrac{\partial F}{\partial X} =2xy+4x$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} =x^2-1$

Mas, como chegamos nesse resultado?

Bem antes de começarmos precisamos saber  o que é derivadas parciais de primeira ordem

• derivadas parciais são utilizadas quando a função possui mais de uma variável  

• primeira ordem porque só precisamos derivar uma vez, se fosse de segunda ordem tínhamos que derivar duas vezes  

• O símbolo  $\dfrac{\partial F}{\partial X}$ nos diz que vamos derivar a função tendo como variante o X tratando  todas as outras variáveis como constante  

• O símbolo  $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$ nos diz que vamos derivar a função tendo como variante o Y tratando  todas as outras variáveis como constante  

Antes de começarmos a derivar precisamos saber algumas propriedades e regras da derivação

• REGRA DA MULTIPLICAÇÃO DE CONSTANTES

   $\dfrac{d}{dx}(C\cdot X)= C\cdot \dfrac{d}{dx} (X)$

• DERIVADA DA CONSTANTE

    $\dfrac{d}{dx} (N)=0$

• DERIVADA DA POTÊNCIA

  $\dfrac{d}{dx} (X^N)=N\cdot X^{n-1}$

Com isso em mente vamos responder a questão

Primeiro vamos encontrar  $\dfrac{\partial F}{\partial X}$  (Lembre-se o y é  tratado como uma constante

Como só tem X em um componente da multiplicação podemos tratas (Y+2) como constante

$\dfrac{\partial F}{\partial X} ( (x^2-1)\cdot (y+2))$

$(y+2)\cdot \dfrac{\partial F}{\partial X}(x^2-1)\\\\(y+2)\cdot (2x^{2-1}-0)\\\\2x\cdot (y+2)\\\\\boxed{2xy+4x}$

Vamos encontrar  o  $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$  (Lembre-se o X é  tratado como uma constante

$\dfrac{\partial F}{\partial Y} ( (x^2-1)\cdot (y+2))$

$(x^2-1)\cdot \dfrac{\partial F}{\partial Y} (y^1 +2)\\\\(x^2-1)\cdot (1\cdot y^{1-1}+0)\\\\(x^2-1)\cdot (1\cdot 1+0)\\\\\ (x^2-1)\cdot 1 \\\\\\\boxed{x^2-1}$

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