Question

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL:
A série geométrica é uma série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica. Essa série é convergente se e somente se o valor absoluto da razão for menor que a unidade. Prove que para todo os valores reais de x: (VEJA IMAGEM EM ANEXO)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

PG (senx, -sen²x/2, sen³x/4,....)

A razão (q) da PG:

q = (-sen²x/2)/senx = -senx/2

a₁ = senx

A soma de infinitos termos da PG:

S = a₁/(1-q)

S = senx/[1-(-senx/2)]

S = senx/[1+senx/2]

S = senx/[(2+senx)/2]

S = 2senx/(2+senx)

Answer 2

A prova é feita usando a fórmula da soma infinita de uma progressão aritmética.

Soma de uma progressão geométrica infinita

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada número é o anterior multiplicado por uma razão.

Se essa razão for, em módulo, menor que um, existe a soma infinita dessa PG.

Analisando a expressão dada vemos que os elementos para a definição da PG são:

• primeiro termo: a₁ = sen x;
• razão: q =  -1/2 sen x.

Para calcularmos essa soma infinita usa-se a fórmula:

$S = \frac{a_1}{1-q}$

Fazendo as substituições, temos:

$S = \frac{sen x}{1-(-\frac12 sen x)}\\\\S = \frac{sen x}{1 + \frac12 sen x}\\\\S = \frac{2 sen x}{2 + sen x}$

Importante lembrar que essa fórmula usada só funciona se a razão for, em módulo, um número menor que 1. Vamos provar isso, a partir do conhecimento de que a função seno é uma função limitada:

-1 ≤ sen x ≤ 1    

Se multiplicarmos todos os termos por um número negativo, os sinais se menor se invertem:

1/2 ≥ -1/2 sen x ≥ -1/2

-1 < -1/2 ≤ -1/2 sen x ≤ 1/2 ≤ 1

Se quiser ver mais exercícios que usam a soma infinita de uma progressão geométrica:

https://brainly.com.br/tarefa/20621158

https://brainly.com.br/tarefa/2537776

#SPJ2