Question

Calculo 2 - Integral com logaritimo. Questão está em imagem!!!

Answer 1

Olá!
 
    Lembrando que   $\log_a(x) = \dfrac{\log_c(x)}{\log_c(a)},$

temos:

$\log_9(s) = \dfrac{\log_e(s)}{\log_e(9)} = \dfrac{\ln(s)}{\ln(9)}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow F(x) = \displaystyle \int_{3^{-x}}^{3^x}\dfrac{\ln(s)}{\ln(9)}ds = \dfrac{1}{\ln(9)}\displaystyle \int_{3^{-x}}^{3^x}\ln(s)ds = \\ \\ \\ = \dfrac{1}{\ln(9)}\bigg[s(\ln(s)-1)\bigg]_{s = 3^{-x}}^{s=3^x} = \\ \\ \\ =\dfrac{1}{\ln(9)} [3^x(\ln(3^x)-1) - 3^{-x}(\ln(3^{-x})-1)]= \\ \\ \\ = \dfrac{1}{\ln(9)}[x3^x\ln(3)-3^x + x3^{-x}\ln(3)+3^{-x} ]=\\ \\ \\ = \dfrac{1}{\ln(9)}[x\ln(3)(3^x+3^{-x})+3^{-x}-3^{x}].$


Daí, 

$F(x) = \dfrac{1}{\ln(9)}[x\ln(3)(3^x+3^{-x})+3^{-x}-3^{x}] \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow F'(x) = \dfrac{1}{\ln(9)}[\ln(3)(3^x+3^{-x}) + x\ln(3)(3^x\ln(3) -3^{-x}\ln(3)) + \\ \\ \\ - 3^{-x}\ln(3)-3^x\ln(3)]\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow F'(1) = \dfrac{1}{\ln(9)}[\ln(3)(3 + \frac{1}{3}) + \ln(3)(3\ln(3) - \frac{1}{3}\ln(3))] = \\ \\ \\ = \dfrac{1}{\ln(9)}[\frac{10}{3}\ln(3) + \frac{8}{3}{\ln}^2(3)].\;\;\text{Jogue na calculadora para o valor exato}$

Falta o F(1):

$F(x) = \dfrac{1}{\ln(9)}[x\ln(3)(3^x+3^{-x})+3^{-x}-3^{x}] \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow F(1) = \dfrac{1}{\ln(9)}[\ln(3)(3 + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3}-3] = \dfrac{1}{\ln(9)}[\frac{10}{3}\ln(3)-\frac{8}{3}].\\ \\ \text{Novamente, basta jogar na calculadora para o valor exato.}$



Bons estudos!