Question

Calcule x se, log 2 (3x +2) + log (4-x) =4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Iannemaciel, que a resolução é simples.
Tem-se:

log₂ (3x+2) + log₂ (4-x) = 4 ---- veja que colocamos também base "2" no segundo fator, pois você esqueceu de colocar a base (se não for base "2" você avisa, certo?).
Bem, continuando, teremos:  

log₂ (3x+2) + log₂ (4-x) = 4

Antes de mais nada vamos ver quais são as condições de existência.

i) Só existem logaritmos de números positivos. Então vamos impor que cada um dos logaritmandos sejam positivos (>0). Assim, deveremos impor isto:

3x + 2 > 0
3x > -2
x > -2/3 --------- Esta é uma condição de existência.
e
4 - x > 0
-x > -4 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
x < 4 ------- Esta é outra condição de existência (note que quando multiplicamos a desigualdade por "-1" ela mudou de sentido: o que era maior passou pra menor).

Assim, como você viu, ficamos com a seguinte condição de existência

- 2/3 < x < 4

ii) Bem, vista a condição de existência, então vamos trabalhar com a nossa expressão, que é esta:

log₂ (3x+2) + log₂ (4-x) = 4 ---- como as bases são iguais, então vamos transformar a soma em produto, ficando assim:

log₂ [(3x+2)*(4-x)] = 4 ---- aplicando a definição de logaritmo, veja que o que temos aqui é a mesma coisa que:

2⁴ = (3x+2)*(4-x) ---- efetuando as operações indicadas, ficaremos:
16 = 12x - 3x² + 8-2x ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro:
16 = 10x - 3x² + 8 ----- vamos apenas "ordenar", ficando:
16 = - 3x² + 10x + 8 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
16 + 3x² - 10x - 8 = 0 ---- reduzindo novamente os termos semelhantes e ordenando, ficaremos com:

3x² - 10x + 8 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = 4/3
x'' = 2

Agora note que ambas as raízes estão atendendo à condição de existência que encontramos, que era esta: - 2/3 < x < 4.

Logo, como está atendida a condição de existência, então temos que "x' poderá atingir ser um dos valores acima, ou seja:

x = 4/3, ou x = 2 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {4/3; 2} .

Observação: a resposta só será a que demos aí em cima se a base do segundo fator for "2", ou seja, se o logaritmo de (4-x) estiver também na base "2".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.