Question

Calcule x na equação abaixo sabendo que, no primeiro membro, os termos adicionados formam uma PG. x + 3x + ...+ 729x = 1093.

Answer 1

Como diz o enunciado, os termos apresentados (x, 3x, ... , 729x) fazem parte de um PG de razão q, ou seja, o que essa equação nos informa é que a soma dos finitos termos dessa PG vale 1093.

A soma dos finitos termos de uma PG é dada por:

$\boxed{S_n~=~\dfrac{a_1\cdot \left(q^n-1\right)}{q-1}}\\\\\\Onde:~~~\left\{\begin{array}{ccl}S_n&:&Resultado~da~soma\\a_1&:&1^o~termo\\q&:&Razao\\n&:&Numero~de~termos\end{array}\right$

Note, entretanto, que ainda não temos os valores de "q" e "n", vamos começar começar determinando os valor da razão (q):

$\boxed{q~=~\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}\\\\\\q~=~\dfrac{a_2}{a_1}\\\\\\q~=~\dfrac{3x}{x}\\\\\\q~=~\dfrac{3\backslash\!\!\! x}{\backslash\!\!\! x}\\\\\\\boxed{q~=~3}$

Utilizando a relação do termo geral da PG, podemos determinar o valor de "n":

$\boxed{a_n~=~a_1\cdot q^{n-1}}\\\\\\729x~=~x\cdot 3^{n-1}\\\\\\\dfrac{729x}{x}~=~3^{n-1}\\\\\\729~=~3^{n-1}\\\\\\3^6~=~3^{n-1}\\\\\\\backslash\!\!\!3^6~=~\backslash\!\!\!3^{n-1}\\\\\\6~=~n-1\\\\\\n~=~6+1\\\\\\\boxed{n~=~7}$

Por fim, substituindo os valores conhecidos na formula para a soma dos termos:

$1093~=~\dfrac{x\cdot \left(3^7-1\right)}{3-1}\\\\\\1093~=~\dfrac{x\cdot \left(2187-1\right)}{2}\\\\\\1093~=~\dfrac{x\cdot \left(2186\right)}{2}\\\\\\x~=~1093\cdot\dfrac{2}{2186}\\\\\\x~=~1093\cdot\dfrac{1}{1093}\\\\\\\boxed{x~=~1}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$