Question

Deseja-se estimar a média μ de peso das pessoas de uma determinada população através
de um intervalo de confiança. Foi obtida uma amostra com n = 20 pessoas e, com base nos dados obtidos, calcularam-se a média amostral x1 = 68,7 kg e o desvio padrão amostral s1 = 5,36 kg.
(a) Admitindo que nessa população o peso segue uma distribuição Normal, obtenha
um intervalo I1 a 95% de confiança para μ com base nessa amostra.
(b) Suponha agora que foi agregado a essa amostra mais um indivíduo cujo peso w
é igual a 82 kg. Obtenha um novo intervalo I2 a 95% de confiança para μ com
base na nova amostra, agora composta de 21 pessoas.

Answer 1

Olá!

Temos que o intervalo de confiança pode ser determinado através do erro dado por:

$\epsilon = t.\frac{s}{\sqrt{n}}$

onde s é o desvio padrão, n o tamanho da amostra e t é o t de Student para o nível de confiança desejado.

a) Nesse caso temos que n = 20, logo o t de Student para 19 graus de liberdade com 95% de confiança é de 2,093. Assim, aplicando na equação:

$\epsilon = 2,093.\frac{5,36}{\sqrt{20}}$

$\epsilon =$ 2,51

Assim, o IC para 95% de confiança será {68,7 - 2,51; 68,7 + 2,51} = {66,19; 71,21}.

b) Nesse caso teremos uma alteração da média, a qual passará a ser:

$x_{2} = \frac{[(68,7.20)+82]}{21}$ = 69,33

Também teremos uma alteração no desvio-padrão, o qual foi calculado inicialmente por:

$s^{2} = \frac{\sum (x^{2})-n \alpha^{2}}{n-1}$

Assim, substituindo os valores que possuímos chegamos em:

$(5,36)^{2} = \frac{\sum (x^{2})-20.(68,7^{2})}{20-1}$ ∴ Σ (x²) = 94939,66

Assim, ao adicionarmos 82², teremos que o novo desvio padrão será:

$s^{2}= \frac{(101663,66)-21.(69,33)^{2}}{21-1}$ = √36,20 = 6,02

Dessa forma, o t de Student para 20 graus de liberdade com 95% de confiança é de 2,086. Assim, aplicando na equação:

$\epsilon = 2,086.\frac{6,02}{\sqrt{21}}$

$\epsilon =$ 2,74

Assim, o IC para 95% de confiança será {69,33 - 2,74; 69,33 + 2,74} = {66,59; 72,07}.

Espero ter ajudado!