Question

Calcule

$\underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \: \displaystyle\int^{x}_{0} \dfrac{y^{n-1}.e^-\frac{y}{e} }{e((n-1)!)^2}\: dy\Bigg]$

Answer 1

A resposta para o cálculo é o número de euler (e)

Temos o seguinte cálculo:

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \: \displaystyle\int^{x}_{0} \dfrac{y^{n-1}.e^-\frac{y}{e} }{e((n-1)!)^2}\: dy\Bigg]$

Vamos lá. Primeiramente vamos resolver a integral. Podemos começar com uma substituição. Veja abaixo:

$\huge \sf \dfrac{y}{e}=u \Rightarrow edu=dy$

Se y/e = u, então podemos colocar que o limite dessa integral será até x/e. Reescrevemos a integral como:

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \: \displaystyle\int^{\dfrac{x}{e} }_{0} \dfrac{e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} }{e((n-1)!)^2}\: e du\Bigg]$

• Perceba que ficamos com e.u.e, pois se y/e=u, então > y=e.u. Assim fazemos essa multiplicação, e colocamos os mesmo expoentes

Podemos cortar o e, que está multiplicando o du, com o e que está dividindo o denominador.

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \: \displaystyle\int^{\dfrac{x}{e} }_{0} \dfrac{e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} }{\not{e}((n-1)!)^2}\: \not{e} du\Bigg]$

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \: \displaystyle\int^{\dfrac{x}{e} }_{0} \dfrac{e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} }{((n-1)!)^2}\: du\Bigg]$

Como e^n-1, ((n-1)!)^2, são constantes e não fazem parte da substituição, podemos colocar para fora da integral

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} \: \displaystyle\int^{\dfrac{x}{e} }_{0} u^{n-1}.e^{-u} \: du\Bigg]$

Sabendo que x se aproxima do infinito, avaliando a condição dessa integral, podemos ver que ela é semelhante a função gama, que é dada por:

$\Large \Gamma(z) = \displaystyle\int^{\infty}_{0} x^{z-1}.e^{-x} dx = (z-1)!$

• Portanto temos que:

$\large \tt \underset{{x \to \infty} }{lim} \displaystyle\int^{\dfrac{x}{e} }_{0} e^{n-1}.u^{n-1}.e^{-u} \: du = \Gamma(z) = (n-1)!$

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} \: \displaystyle\int^{\dfrac{x}{e} }_{0} u^{n-1}.e^{-u} \: du\Bigg]\\\\\\\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} \: \cdot (n-1)!\Bigg]$

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^{n-1}}{((n-1)!)^2} \: \cdot (n-1)!\Bigg]\\\\\\\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^{n-1}\cancel{(n-1)!}}{(n-1)!\cancel{(n-1)!}} \: \Bigg]\\\\\\\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^{n-1}}{(n-1)!} \: \Bigg]$

$\large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^n}{n!} \: \Bigg]$

Pela séries de Mac Laurin, em torno de e^x, temos que:

$\Large e^x =\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{x^n}{n!} \Rightarrow e^e=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{e^n}{n!}$

• Portanto:

$\Large \sf \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log \:\Bigg[ \displaystyle\sum^{x}_{n=0} \dfrac{e^n}{n!} \: \Bigg] = \underset{{x \to \infty} }{lim} \: log (e^e) = e$

Resposta:

• Número de euler = e

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$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

$\Large \boxed{ \boxed{ \mathbb{\displaystyle\sum}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}$