Question

Calcule $\lim_{x \to \ 0} \frac{\sqrt{1 +tgx}- \sqrt{1 + senx} }{x^{2} }$
$\lim_{n \to \infty} (n . sen\frac{\pi }{n})$ , n e N*
$\lim_{x \to \ 1} \frac{x^{n}-1 }{tgx}$

Answer 1

Para calcular esses limites usaremos o limite fundamental do seno e do cosseno:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \sin x}{ x} =1 \qquad \textrm{ e } \qquad \lim_{ x \to 0} \, \dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac 12$

Questão 1:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \sqrt{ 1 + \tan x} - \sqrt{ 1 + \sin x}}{ x^2}$

Para esse limite, multiplicaremos o numerador e o denominador por

$\sqrt{ 1 + \tan x} + \sqrt{ 1 + \sin x}$

a fim de eliminar as raízes no numerador:

$L = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \, \dfrac{1 + \tan x - 1 - \sin x}{x^2(\sqrt{ 1 + \tan x} + \sqrt{ 1 + \sin x})}$

Agora é só usar que tan x = sen x / cos x e agrupar convenientemente os termos:

$L = \displaystyle\lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \dfrac { \sin x}{ \cos x} - \sin x}{ x^2 } \cdot \dfrac 1{ \sqrt{ 1 + \tan x} + \sqrt{ 1 + \sin x}} \implies \\[2ex]L = \lim_{ x \to 0} \, \dfrac{ \sin x}x \cdot \dfrac{ 1- \cos x}{x^2} \cdot \dfrac x{ \cos x\left(\sqrt{ 1 + \tan x} + \sqrt{ 1 + \sin x}\,\right)}$

O primeiro fator tende a 1, o segundo tende a 1/2 e o terceiro tende a 0. Logo, o limite é zero.

Questão 2:

$L ={\displaystyle \lim_{n \to \infty} }\, n \cdot \sin \frac\pi n$

Fazemos a mudança de variável x = 1/n. Assim, quando n tende a +∞, teremos x tendendo a 0 (nesse caso não faz diferença, mas é pela direita):

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac 1x \sin \pi x = \lim_{x \to 0} \, \pi \cdot\dfrac{ \sin \pi x}{ \pi x} = \pi$

Ou seja, pelo limite fundamental a resposta é π.

Questão 3:

$L = \displaystyle \lim_{ x\to 1}\, \dfrac{ x^n -1}{ \tan x}$

Observe que nesse caso o limite não é uma indeterminação. O numerador tende a 0 e o denominador tende a tan 1 ≠ 0. Assim,

L = 0/ tan(1) = 0.

Respostas:

1. 0

2. π

3. 0