Question

calcule os seguintes limites​

Answer 1

Operando os limites indicados e levantando indeterminação do tipo

$\dfrac{0}{0}$ , obtemos os seguintes resultados:

a) 14         b)  0         c) 1/4         d) 3

Calcule os seguintes limites :

a)

$\lim_{x \to \ -7}( \dfrac{49-x^2}{7+x} )$

b)

$\lim_{x \to \ 3} (\dfrac{x^2-6x+9}{x-3})$

c)

$\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{2-\sqrt{4-t} }{t})$

d)

$\lim_{s \to \ 1} (\dfrac{s^3-1}{s-1})$

       

a)

$\lim_{x \to \ -7}( \dfrac{49-x^2}{7+x} )=\( \dfrac{49-7^2}{7-7} =\dfrac{0}{0}$      

Dá uma indeterminação

Levantando a indeterminação

$\lim_{x \to \ -7}( \dfrac{49-x^2}{7+x} )=\lim_{x \to \ -7}( \dfrac{7^2-x^2}{7+x} )=\lim_{x \to \ -7}( \dfrac{(7+x)*(7-x)}{7+x} )$

$=\lim_{x \to \ -7}(7-x)=7-(-7)=14$

      ( gráfico em anexo 1 )

b)

$\lim_{x \to \ 3} (\dfrac{x^2-6x+9}{x-3})=\dfrac{3^2-6*3+9}{3-3} =\dfrac{18-18}{0} =\dfrac{0}{0}$

Dá uma indeterminação.

Levantando a indeterminação

$\lim_{x \to \ 3} (\dfrac{x^2-6x+9}{x-3})=\lim_{x \to \ 3} (\dfrac{(x-3)^2}{x-3})=\lim_{x \to \ 3}(x-3)=(3-3)=0$

      ( gráfico em anexo 2 )

c)

$\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{2-\sqrt{4-t} }{t})=\dfrac{2-\sqrt{4-0} }{0} =\dfrac{2-2}{0} =\dfrac{0}{0}$

Dá uma indeterminação

Levantando a indeterminação.

$\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{2-\sqrt{4-t} }{t})=\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{(2-\sqrt{4-t} )*(2+\sqrt{4-t}) }{t*(2+\sqrt{4-t}) })$

$=\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{(2^2-(\sqrt{4-t} )^2 }{t*(2+\sqrt{4-t}) })=\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{4-({4-t} ) }{t*(2+\sqrt{4-t}) })$

$=\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{4-4+t }{t*(2+\sqrt{4-t}) })=\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{t }{t*(2+\sqrt{4-t}) })=\lim_{t \to \ 0} (\dfrac{1 }{2+\sqrt{4-t} })$

$=\dfrac{1 }{2+\sqrt{4-0} }=\dfrac{1 }{2+2}=\dfrac{1}{4}$        

( 1/4 = 0,25)

( gráfico em anexo 3 )

d)

$\lim_{s \to \ 1} (\dfrac{s^3-1}{s-1})=\dfrac{1^3-1}{1-1} =\dfrac{0}{0}$

Dá uma indeterminação.

Levantando a indeterminação.

1 é um zero de ( s³ - 1 )

Usar o Dispositivo prático Briot / Ruffini

raiz | todos os coeficientes do polinómio

      |      a       e       f       g

raiz  |     a         b          c         d

       |     a         e          f          g

"a" repetido do de cima

e = a * raiz + b

f =  e * raiz + c

g = f * raiz + d

Sendo "a" uma raiz do polinómio, logo P(a) = 0, então g = 0  

$s^3-1=1*s^3+0*s^2+0*s^1-1$

   1  |      1        0      0     - 1___

      |      1         1       1       0

Obtemos  a decomposição em fatores

$s^3-1=(s-1)*(s^2+s+1)$

$\lim_{s \to \ 1} (\dfrac{s^3-1}{s-1})=\lim_{s \to \ 1} (\dfrac{(s-1)*(s^2+s+1)}{s-1})$

$=\lim_{s \to \ 1} (s^2+s+1)=1^2+1+1=3$

( gráfico em anexo 4 )

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Regras que permitiram o levantamento da indeterminação

a)

49 - x²  é um produto notável

7² - x² é a diferença de dois quadrados

Genericamente a² - b²

O seu desenvolvimento é:

( base do 1º + base do 2º ) * ( base do 1º - base do 2º)

ou seja

( a + b ) * ( a - b )

Assim podemos cancelar o ( 7 + x ) no numerador e denominador.

b)

x² - 6x + 9 = x² - 2* x * 3 + 3²

Produto notável → Quadrado de uma diferença

Genericamente

( a - b )² = a² - 2 * a * b + b²

Quadrado do 1º termo

menos

dobro do produto do 1º pelo 2º termo

mais

quadrado do segundo termo

Mas necessário ter presente que se se tem

a² - 2a b + b²

se pode passar para ( a - b )² quando necessário em termos de cálculos.

e

$( x- 3 )^2 / (x - 3 )^1 = (x-3)^{2-1} = x-3$

c)

$2-\sqrt{4-t}$

Ter noção que se pretende racionalizar o numerador

Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador.

Num conjugado mantém-se o primeiro monômio e troca-se o sinal do

segundo monômio

O produto pelo conjugado  dá origem a um Produto Notável,

" Diferença de dois quadrados "

( ver observações na alínea a) nas regras )

d)

Sabendo que 1 é zero do numerador, usando o Dispositivo prático Briot /

Ruffini , obter a decomposição, em fatores , do numerador

Bons estudos.

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( * ) multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.