Matemática, perguntado por alunosead2021, 4 meses atrás

Calcule os limites
lim x→1 3/1-x

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

✅ O resultado do cálculo do limite da função dada $\textstyle \left [ \rm \lim_{x\to 1} \tfrac{3}{1-x} \right]$ é $\rm \nexists$ ( não existe ).

❏ Vamos fazer algumas observações sobre esse limite dessa função:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm \lim_{x\to 1} \frac{3}{1-x} \end{array}$

⚠️ Em primeiro caso, intuitivamente, podemos afirmar que esse limite não existe. Ora, por que? Porque, intuitivamente não conseguimos encontrar um valor para qual esse limite venha a convergir.

$\large\begin{array}{lr}\rm \displaystyle \rm \lim_{x\to 1} \frac{3}{1-1} = \frac{3}{0} \\\\\rm = indeterminado\end{array}$

❏ Note que não conseguimos manipular algebricamente de forma a eliminar a indeterminação.

❏ Intuitivamente é isso. Pondo um pouquinho mais de rigor, podemos verificar a existência do limite. Para isso, devemos tomar como parâmetro os limites laterais. Veja:

✍️ Primeiro, vamos ver o limite à esquerda:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm \lim_{x\to 1^-} \frac{3}{1-x}\end{array}$

❏ Isso quer dizer que $\rm x \to 1$ por valores menores que 1.

$\underbrace{\textsf{---}\!\!\!\textsf{---------------}}_{ \rm x< 1}\!\!\underset{1} \circ\!\!\textsf{--------}\!\!\!\blacktriangleright$

❏ Sendo assim:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm \lim_{x\to 1^-} \frac{3}{1-x} = + \infty\end{array}$

Ou seja, tenho um numerador relativamente grande sendo dividido por um valor muito pequeno à medida que x tende a 1 por valores menores que 1. Isso gera cada vez mais números grandes, logo dizemos que esse limite estoura para $\rm + \infty$ .

✍️ Vamos brincar agora com o limite à direita:

❏ Admitiremos valores que se aproximem de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que 1.

${\textsf{---}\!\!\!\textsf{-----------}}\!\!\underset{1} \circ\!\! \underbrace{\textsf{------------------}}_{ \rm x>1}\!\!\!\blacktriangleright$

❏ Dessa forma:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm \lim_{x\to 1^+} \frac{3}{1-x} = -\infty \end{array}$

Isto é, tendo um numerador fixo sendo dividido por uma diferença que fica cada vez menor à medida que x tende a 1 por valores maiores que 1, implica em valores cada vez menores, então dizemos que esse limite estoura para $\rm - \infty$ .

✅ Considerações finais: Um limite só existe ( existência do limite ), se e somente se os limites laterais convergirem para um único valor igual entre ambos. Tendo isso em vista, o limite que foi informado não existe

$\large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:\displaystyle \rm \lim_{x\to 1} \frac{3}{1-x} = \nexists }}}\end{array}$

❏ Pois,

$\large\begin{array}{lr}\rm \displaystyle \rm \lim_{x\to 1^ - } \frac{3}{1-x} \quad \neq \quad \displaystyle \rm \lim_{x\to 1^ + } \frac{3}{1-x} \\\\\rm \because \; + \infty \neq -\infty \end{array}$