Question

Calcule o volume do solido gerado pela revolução de R (região da área) a partir das equações y=4x² e y=4x, em torno do eixo y

Answer 1

Gráfico na imagem abaixo

Colocando tudo em função de y
$\displaystyle y_{1} = 4x \Leftrightarrow x_{1} = \frac{y}{4}$
$\displaystyle y_{2} = 4x^{2} \Leftrightarrow x_{2} = \frac{\sqrt{y}}{2}$

Ponto de interseção,
4x = 4x²
x = 1
y = 4

Volume,
V = $\displaystyle\pi\int_{0}^{4} (\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{y}{4})^{2} dy$
V = $\displaystyle\pi \int_{0}^{4} (\frac{y}{4} - \frac{2y\sqrt{y}}{8} + \frac{y^{2}}{16}) dy$
V = $\displaystyle\frac{\pi}{16}(\int_{0}^{4}4y dy - \int_{0}^{4} 4y\sqrt{y} dy + \int_{0}^{4}y^{2} dy)$
V = $\displaystyle\frac{\pi}{16} (\frac{4y^{2}}{2} - \frac{4y^{2}\sqrt{y}}{\frac{5}{2}} + \frac{y^{3}}{3})]\begin{matrix} y = 4\\y = 0 \end{matrix}$
V = $\displaystyle\frac{\pi}{16} (\frac{4(4)^2}{2} - \frac{4(4)^{2}\sqrt{4}}{\frac{5}{2}} + \frac{(4)^{3}}{3})$
V = $\displaystyle\frac{\pi}{16} (\frac{64}{2} - \frac{256}{5} + \frac{64}{3})$
V = $\displaystyle\frac{\pi}{16} (\frac{960 - 1536 + 640}{30})$
V = $\displaystyle\frac{\pi}{16} (\frac{64}{30})$

V = $\displaystyle\frac{2\pi}{15}$