Question

calcule o valor do número complexo abaixo.​

Answer 1

$i = \sqrt{-1}$

O que acontece quando multiplicamos uma raiz quadrada por ela mesma? Ficamos com o que existe dentro da raiz. Ou seja:

$\sqrt{x}\sqrt{x} = x$

Agora vamos pensar sobre exponenciação. Sempre que temos expoente par, podemos agrupar os fatores em grupos de 2. Por exemplo:

$x^2 = (x\cdot x)\\x^4 = (x\cdot x)(x \cdot x)\\x^6 = (x\cdot x)(x\cdot x)(x\cdot x)$

Portanto, se tivermos um expoente ímpar, teremos um fator que não terá dupla. No caso, $i^{91}$ é ímpar, então na nossa resposta teremos um $i$ que não terá par. Então já sabemos que nossa resposta tem que ser a penúltima ou a última. Qual será?

Vamos pensar em potências pares do número imaginário:

$i^2 = -1\\i^4 = (-1)(-1) = 1\\i^6 = (-1)(-1)(-1) = -1$

O padrão aqui é que o valor da potência do número imaginário está mudando de sinal para cada passo. Perceba que sempre que i é elevado a um número que é ímpar quando dividido por 2, o resultado é negativo; do contrário, o resultado é positivo.

Se dividirmos expoente 90 por 2, temos 45. Isso significa que

$i^{90} = -1$

e, portanto,

$\boxed{i^{91} = i^{90} \cdot i = -i}$