Question

calcule o valor de tg x e sec x, sendo sen x -1/2 e x ∈ 3º quadrante.

Answer 1

Temos que:

$\boxed{tgx = \frac{senx}{cosx}} \ \ \ \ \ \boxed{secx = \frac{1}{cosx}}$


As duas relações exigem que tenhamos o valor de cosseno de x, que podemos descobrir pela equação fundamental:

$sen^{2}x+cos^{2}x = 1 \\\\ (-\frac{1}{2})^{2}+cos^{2}x = 1 \\\\ \frac{1}{4}+cos^{2}x = 1 \\\\ cos^{2}x = 1-\frac{1}{4} \\\\ cos^{2}x = \frac{3}{4} \\\\ cosx = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \\\\ cosx = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 3\º quadrante \rightarrow sen \ e \ cos \ negativos \\\\ \boxed{cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$


Agora sim podemos substituir:

$tgx = \frac{senx}{cosx} \\\\ tgx = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\\\ tgx = \frac{-2}{-2\sqrt{3}} \\\\ tgx = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \boxed{\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}}$


E secante:

$secx = \frac{1}{cosx} \\\\ secx = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \\\\ secx = -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \boxed{\boxed{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}}$