Question

Calcule o valor de h na equação x^2 - 2 . (h+1) . x + h - 10=0, com incógnita x , de modo que a soma dos inversos das soluções seja 1/3.

Answer 1

Pelo enunciado sabe se que a soma dos inversos das soluções (x' e x'') é igual a 1/3, logo: 

$\frac{1}{x'} + \frac{1}{x''} = \frac{1}{3}$
$\frac{x'' + x'}{x'.x''} = \frac{1}{3}$ (Equação I)

Sabe-se que a função de segundo grau é governada pela seguinte propriedade: $x^{2} - Sx + P = 0$, em que $S$ é a soma das raízes ($x' + x''$) e $P$ é o produto das raízes ($x'.x''$). Na equação dada, temos que:

$-S = -2 (h+1)$
$x' + x'' = 2 (h+1)$ (Equação II)

e

$P = h - 10$
$x'.x'' = h - 10$ (Equação III)

Substituindo as equações II e III na equação I, obtém se que:
$\frac{2 (h+1)}{h - 10} = \frac{1}{3}$
$\frac{h - 10}{2 (h+1)} = 3$
$h - 10 = 6h + 6$
$h - 6h = 10 + 6$
$-5h = 16$
$h = \frac{-16}{5}$