Question

Calcule o valor de b no polonomio : P (x) = x3 + ax2 + ( b-18) x+1, sabendo que 1 é raiz do polonomio e p (2) = 25

Alguém me ajudaaaa pfvr

Answer 1

Bom dia, Costa Barbosa.

Para resolver seu problema, vamos analisar cada informação que temos sobre ele.

A principio o polinômio tem três valores desconhecidos (x, a e b). A primeira informação reveladora sobre o problema é que o valor "1" é uma raiz do polinômio.

Isto significa que, quando substituímos x pelo valor 1, P(x) = 0. Expressando de forma matemática:

$1 ^{3} +a*1 ^{2} +(b-18)*1+1=0$

Na expressão acima o asterisco representa o produto ou multiplicação. Desenvolvendo a expressão:

$1+a+b-18+1=0$

$a+b=18-1-1$

$a+b=16$

Esta primeira equação reduz o número de incógnitas para 2. Para a solução do problema, precisamos de mais uma equação, que será obtida pela próxima informação do problema.

Quando o problema diz que P(2) = 25, isto nos diz que quando substituímos x por 2, o resultado é 25. Matematicamente, expressamos da seguinte forma:

$2 ^{3} +a*2 ^{2} +(b-18)*2+1=25$

Desenvolvendo a expressão:

$8=4a+2b-36+1=25$

$4a+2b=25+36-8-1$

$4a+2b=52$

A expressão acima ainda pode ser simplificada se dividirmos os dois lados da equação por dois (sem com isso alterar os valores de "a" e "b"). Com isso:

$2a+b=26$

Agora possuímos todas as condições para descobrir o valor de b. Juntando as informações que temos até agora:

$\left \{ {{a+b=16} \atop {2a+b=26}} \right.$

O método mais simples para resolvermos este par de equações é isolarmos "a" em uma delas e substituirmos na outra. Uma forma possível é:

$a=16-b$

Substituindo "a" na segunda equação por "16-b", obtemos:

$2*(16-b)+b=26$

$32-2b+b=26$

$-2b+b=26-32$

$-b=-6$

$b=6$

Da mesma forma poderíamos isolar a na segunda equação e substituir na primeira, obtendo o mesmo resultado.

Espero ter ajudado. Bons estudos!