Question

Calcule o valor da soma $\sum _{n=0}^{\infty \:}\left(\frac{1}{2}\right)^n$

Answer 1

• O valor da soma é igual a:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{2}\right)^n= 2\end{gathered}$

Desejamos calcular a seguinte pg infinita:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \sum ^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{2}\right)^n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots \end{gathered}$

Para isso, iremos aplicar a fórmula da pg infinita, dada da seguinte forma:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\tt S_{\infty} =\frac{a_1}{1-q} }}\end{gathered} }$

Sendo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt S_{\infty}=soma\ infinita\ ;\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt a_1= primeiro\ termo\ ;\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt q=raz\tilde{a}o\ .\end{gathered}$

Aplicando na sua questão, temos que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt S_{\infty} =\frac{1}{1-\dfrac{1}{2}} \longrightarrow S_{\infty}=\frac{1}{\dfrac{1}{2}} \end{gathered} }$

Lembrando que uma divisão de frações vira uma multiplicação de frações, mantendo o numerador e multiplicando pelo inverso do denominador.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt S_{\infty}=\frac{1}{\dfrac{1}{2}} \longrightarrow \green{\underline{\boxed{\tt S_{\infty}= 2}}} \ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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