Question

Calcule o momento de inércia de um anel com raio R e massa M.
Calcule o momento de inércia de um disco com raio R e massa M.

Answer 1

a) Anel de massa M e raio R:
O momento de inércia é dado por:
$I=mr^2$
Como estamos falando de uma soma de partículas com massa em torno do eixo de rotação, teríamos:
$\displaystyle I=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{i=0}^Nm_i\right)\cdot r^2$
estamos falando então que I depende de cada m, ou seja, se considerarmos um pedacinho infinitésimo de m estamos tratando de um pedaço infinitésimo de I:
$dI=r^2dm$
Integrando dos dois lados:
$\displaystyle \int dI=\int r^2 dm\implies I=\int r^2 dm$
Em um objeto de 1 dimensão como um anel sabemos que:
$\displaystyle \frac{M}{s}=\lambda$
de modo que:
$\displaystyle \frac{dm}{ds}=\lambda\implies dm=\lambda ds$

Como:
$R\theta=S\implies ds=d\theta R$

ou seja:
$\displaystyle dm=\lambda ds\implies dm=\lambda Rd\theta$
Integramos de 
$\theta=0$ até $\theta=2\pi$, e teremos o momento de inércia em torno de todo anel:
$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{2\pi}R^2\lambda Rd\theta \implies \lambda=\frac{1}{2\pi R}\implies I=\int\limits_{0}^{2\pi}R^2\frac{M}{2\pi}d\theta \\\\I=\frac{M\cdot R^2}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}d\theta=\frac{MR^2}{2\pi}(2\pi-0)=\frac{MR^2(2\pi)}{2\pi}-0=\boxed{MR^2}$
logo:
O momento de inércia do anel é MR².

b) momento de inércia do disco:
 Vamos supor que o disco é feito por infinitésimos anéis:
$dI=r^2dm$
mas aqui:
$dm=\sigma dA$
tal que:
$\displaystyle \sigma=\frac{M}{\pi R^2}$
e
$dA=2\pi rdr$
então:
$\displaystyle dm=\frac{2M\pi rdr}{\pi R^2}=\frac{2Mrdr}{R^2}$
logo:
$\displaystyle I=\int r^2dm=\int\frac{2Mr^3}{R^2}dr$
Calculando de 0 até R:
$\displaystyle I=\int\limits_{0}^{R}\frac{2Mr^3}{R^2}dr=\frac{2M}{R^2}\int\limits_{0}^{R}r^3dr=\frac{2M}{R^2}\left[\frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{R}=\frac{2MR^4}{4R^2}-0=\frac{1}{2}MR^2$
Ou seja:
$I=\frac{1}{2}MR^2$