Question

Calcule o Log ( 1/ab + 1/bc + 1/ac), sendo a, b e c as raízes da equação 2x^3 - 30x^2 + 15x -3 =0

Answer 1

Boa noite!

Utilizando as relações de Girard. Veja as relações de uma equação cúbica:
$ax^3+bx^2+cx+d=0\\ x'+x''+x'''=\frac{-b}{a}\\ x'.x''+x'.x'''+x''.x'''=\frac{c}{a}\\ x'.x''.x'''=\frac{-d}[a}$

Então, caso sejam as raízes a, b e c, teremos:
$\log\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\\ \log\left(\frac{c+a+b}{abc}\right)$

Veja que precisamos da soma e do produto das raízes:
$2x^3-30x^2+15x-3=0\\ a+b+c=soma=\frac{-(-30)}{2}=15\\ abc=produto=\frac{-(-3)}{2}=\frac{3}{2}$

Então:
$\log\left(\frac{c+a+b}{abc}\right)=\log\left(\frac{15}{\frac{3}{2}}\right)\\ \log(10)=1$

Espero ter ajudado!