Question

Calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen4x)/x:

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \frac{(sen(4x))}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(sen(4x)) }{\frac{d}{dx}(x) }$

$\lim_{x \to 0} \frac{4cos(4x)}{1}$

$\lim_{x \to 0} (4cos(4x))$

$4cos(4 \times 0)$

$4$

Answer 2

Por meio dos cálculos realizados, podemos concluir que o limite dado em questão é igual a $\boxed{\bf\lim_{x\to 0}\frac{\sin(4x)}{x}=4}$

Explicação

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: \bf\lim_{x\to0} \: \frac{ \sin(4x)}{x}$

O objetivo é determinarmos o valor deste limite.

• Limite fundamental:

Observe que este limite dado no enunciado, é muito parecido com um limite fundamental, isto é, possui um valor já predeterminado.

• Como sabemos exitem três limites fundamentais mais conhecidos sendo eles:

$\bf (1) \: \: \lim_{x\to0}\: \frac{ \sin(ax)}{ax} = 1 \bigg | \: (2) \: \lim_{x\to \pm \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right) {}^{x} = e \: \: \bigg | \:(3) \: \: \lim_{x\to 0} \left( \frac{a {}^{x} - 1 }{x} \right)= \ln(a)$

Podemos associar o limite em questão ao número (1) citado acima, portanto vamos usar estes como referência para o cálculo.

• Modificação Algébrica:

Note que é possível fazermos uma pequena modificação algébrica na expressão do limite para igualarmos o argumento do seno com o denominador, para que seja possível utilizar o limite fundamental. Portanto vamos multiplicar tanto o numerador, quando o denominador por 4.

$\: \lim_{x\to0} \frac{ \sin(4x)}{x} . \frac{4}{4} \: \to \: \lim_{x\to0} \frac{4 \sin(4x)}{4x} \:\to\: \lim_{x\to0} \: 4 \: . \: \frac{ \sin(4x)}{4x}$

O limite de uma multiplicação de funções, sejam elas constantes ou não, é igual a multiplicação dos limites de cada uma das funções, sendo isto uma propriedade dos limites.

$\bf \: \: \lim_{x\to a}(f(x).g(x)) = \lim_{x\to a}f(x).\lim_{x\to a}g(x)$

Aplicando esta propriedade no limite acima.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0}4.\lim_{x\to0} \frac{ \sin(4x)}{4x}$

Para finalizar, basta lembrar que o limite de uma constante é a própria constante e que o segundo limite é basicamente o fundamental, ou seja, é igual a 1. Portanto:

$\underbrace{\lim_{x\to0}4}_{4} \: \: . \: \: \underbrace{\lim_{x\to0} \frac{ \sin(4x)}{4x}}_{1} \: \: \to \: \: 4.1 = \boxed{\bf4}$

Concluimos então que o valor final é 4.

Espero ter ajudado

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