Question

Calcule o limite da função quando x tende a -1, sendo y = (x² - 10x - 11) / (x² - 2x - 3): a) -3
b) -5
c) 3
d) 5
e) -6

Answer 1

A questão pede o limite da seguinte função:

$\mathbf{y= \frac{x^2-10x-11}{x^2-2x-3} }$

Dessa forma, podemos considerar o limite como sendo:

$\mathsf{ \lim_{x \to -1} \dfrac{x^2-10x-11}{x^2-2x-3} }$

Tanto o numerador como o denominador é um polinômio de grau 2. Para começo, vamos substituir o - 1 no lugar do x,

$\mathsf{\lim_{x \to -1} \dfrac{(-1)^2-10~.~(-1)-11}{(-1)^2-2~.~(-1)-3} = \dfrac{0}{0} }$

Se você fizer os cálculos, você chegará em uma indeterminação de 0 / 0. Por isso, podemos começar a fatorar os polinômios do grau 2 e usar a propriedade do trinômio do segundo grau, a ( x - x' ) ( x - x'' ).

Igualamos a equação do numerador a 0 e encontraremos as raízes da equação do 2 grau.

$\mathsf{x^2-10x-11=0}$

Irei resolver pela soma e produto para não ficar muito longo. Dessa forma, teremos que encontrar dois valores que somados resulte em ( - b / a ) e multiplicados resulte em ( c / a ). Caso você não tenha familiaridade com esse método resolva por bháskara que encontrará o mesmo resultado.

 $\mathsf{ \dfrac{-b}{a}= \dfrac{10}{1}=10} \\ \\ \\ \mathsf{ \dfrac{c}{a}= \dfrac{- 11}{1}=- 11 }$

Se multiplicarmos o 11 por 1 encontraremos 11 como resultado, porém, se somarmos 11 com 1 encontraremos 12 - para que isso não aconteça, devemos colocar o sinal de negativo no - 1. Ou seja,

11 + ( - 1 ) = 10
11  . ( - 1 ) = - 11

Portanto, as raízes são x' = - 1 e x'' = 11.

Substituindo nas propriedade do trinômio, teremos:

( x + 1 ) ( x - 11 )

Tudo que a gente fez até agora vai se repetir com o denominador, igualamos a equação por 0 e encontraremos as raízes.

$\mathsf{x^2-2x-3=0}$

Encontrando as raízes pelo método da soma e produto,

$\mathsf{\dfrac{2}{1}=2 } \\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{-3}{1} =-3}$

Se multiplicarmos 3 por 1 encontraremos 3, ou seja, algum dos dois deve ser um numero negativo. Se somarmos 3 por - 1 encontraremos 2. Logo, o 1 deve ser negativo.

3 + ( - 1 ) = 2
3  . ( - 1 ) = - 3

x' = - 1
x'' = 3

Substituímos os valores das raízes no trinômio do segundo grau,

( x + 1 ) ( x - 3 )

Encontrado os valores do trinômio, podemos substitui-los no lugar dos polinômios.

$\mathsf{\lim_{x \to-1} \dfrac{(x+1)(x-11)}{(x+1)(x-3)} } \\ \\ \\ \\ \mathsf{ \lim_{x \to -1} \dfrac{(x-11)}{(x-3)} } \\ \\ \\ \\ \\ \mathsf{ \lim_{x \to-1} \dfrac{-12}{-4} } \\ \\ \\ \\ \boxed{\mathbf{ \lim_{x \to -1}3}}~\checkmark$

Alternativa C )