Question

Calcule o limite da função a seguir quando x tender a 3:

y = x² + 10x + 6

Answer 1

Resposta:

$\lim_{x \to 3} y = 45$

Resolução:

Método 1: Por continuidade

Observe que $y = x^2 + 10x + 6$ é contínua (pois é um polinômio), logo, basta substituir $x = 3$ para achar o valor do limite.

$\lim_{x \to 3} (x^2 + 10x + 6) = 3^2 + 10\times 3 + 6 = 9 + 30 + 6 = 45$.

Método 2: Por definição de limite

Invocamos a

Definição de limite:

"Seja $f: \text{A} \rightarrow \text{B}$ uma função com $\text{A}, \text{B} \subset \mathbb{R}$. Dizemos que

$\lim_{x \to c} f(x) = \text{L}$

quando

$\forall \ \epsilon > 0 \ \exists\ \delta > 0 : |x - c| < \delta \implies |f(x) -L| < \epsilon$."

Vamos provar que o limite é 45.

Seja $\epsilon > 0$ dado e tome $\delta = \text{min}(1, \frac{\epsilon }{17} )$. Logo,

$|x - 3| < \delta \\\implies |(x^2 + 10x + 6) - 45|\\= |x^2 + 10x - 39|\\= |(x + 13)(x - 3)|\\ < |x + 13|\delta$

Como $|x - 3| < \delta \leq 1$, devemos ter $x \leq 4$ e, logo, $x + 13 \leq 17$. Assim, junto com $\delta \leq \frac{\epsilon }{17}$, temos

$|x + 13|\delta \leq 17 \frac{\epsilon }{17} = \epsilon$,

como queríamos demonstrar.