Question

Calcule o domínio e a imagem de LaTeX: f(x) = \sqrt{-3x + 27} + 1f(x)=−3x+27+1 e a expressão da sua função inversa.

Answer 1

A função é $f(x)= \sqrt{-3x+27}+1$.

Perceba que para o domínio temos a restrição na raiz quadrada, pois tudo que está dentro da mesma tem que ser maior ou igual a 0, ou seja, 

-3x + 27 ≥ 0
-3x ≥ -27
3x ≤ 27
x ≤ 9

Portanto, o domínio de f é (-∞,9].

Como teremos resultados positivos na raiz e temos o 1 somando, então a imagem de f é [1, ∞).

Para a função inversa, devemos, primeiramente, isolar o x:

$y= \sqrt{-3x+27}+1$
$y-1= \sqrt{-3x+27}$
$(y-1)^2=-3x+27$
$y^2-2y+1=-3x+27$
$y^2-2y-26=-3x$
$x= \frac{-y^2+2y+26}{3}$

Agora, basta trocar o x pelo y e o y pelo x. 

Portanto, a função inversa é:

$y= \frac{-x^2+2x+26}{3}$