Question

Calcule o domínio, a imagem de e a expressão da sua função inversa da seguinte função:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lucas, que a resolução é mais ou menos simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se o domínio, a imagem e a inversa da seguinte função:

f(x) = √(-3x+27) + 1

Veja: radicais de índice par (raiz quadrada tem índice "2" apenas não se coloca e "2" é par) só admitem radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Então vamos impor que o radicando (-3x+27) seja maior ou igual a zero. Fazendo isso, teremos: 

-3x + 27 ≥ 0 ---- passando "27" para o 2º membro da desigualdade, temos:
-3x ≥ - 27 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1" (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era maior ou igual passa para menor ou igual e vice-versa):

3x ≤ 27 
x < 27/3 
x ≤ 9 ------ Este é o domínio da função da sua questão. Ou seja, o domínio de f(x) = √(-3x+27) + 1 será para todo e qualquer "x" que seja menor ou igual a "9".


ii) Agora vamos para o conjunto-imagem. 

Veja que como o domínio só admite "x" que seja menor ou igual a "9", então o menor valor de f(x) será quando "x" for igual a "9". Assim, tomando-se a expressão original e substituindo-se "x" por "9" teremos o menor valor que f(x) poderia assumir. Logo, teremos:

f(9) = √(-3*9 + 27) + 1 
f(9) = √(-27+27) + 1 
f(9) = √(0) + 1 ------ como f(0) = 0, teremos:
f(9) = 0 + 1 --- ou apenas: 
f(9) = 1 ------ Assim, "1" é o menor valor assumido por f(x), que é quando "x" é igual a "9", então o conjunto-imagem será: 

f(x) ≥ 1 ----- Este é o conjunto-imagem da função da sua questão. Ou seja,  f(x) será maior ou igual a "1" para todo "x" menor ou igual a "9".

iii) Finalmente, vamos encontrar a inversa da função da sua questão que é esta: 

f(x) = √(-3x+27) + 1 ---- para isso, siga estes passos: troque f(x) por "y", ficando:

y = √(-3x+27) + 1 ---- agora troque "y" por "x" e "x" por "y", ficando assim: 
x = √(-3y+27) + 1 ---- vamos passar "1" para o 1º membro, ficando: 
x - 1= √(-3y+27) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos: 

(x-1)² = [√(-3y+27)]² ---- desenvolvendo, teremos: 
x²-2x+1 = -3y + 27 ------ vamos passar "27" para o 1º membro, ficando:
x² - 2x + 1 - 27 = -3y ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos: 

x² - 2x - 26 = - 3y ---- vamos apenas inverter, ficando assim: 
- 3y = x² - 2x - 26 --- multiplicando ambos os membros por "-1", temos:
3y = -x² + 2x +26 ---- isolando "y", temos:
y = (-x²+2x+26)/3  <--- Esta é a função inversa pedida. Ou seja, este é a função inversa da função original da sua questão [f(x) = √(-3x+27) + 1]. 

Vamos apenas trocar "y" pelo símbolo internacional de funções inversas, ficando assim: 

f⁻¹(x) = (-x²+2x+26)/3 <--- Esta é a forma consagrada de indicarmos uma função inversa. 

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.