Question

Calcule o det desta matriz

Δ11=

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular o cofator de um elemento desta matriz de ordem 4.

Para isso lembre-de que o cofator de um elemento é calculado pela fórmula:

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot\det D_{ij}$, em que $i$ e $j$ são, respectivamente, a linha e a coluna do elemento e $\det D_{ij}$ é o determinante da matriz composta pelos elementos que restam ao eliminar esta linha e coluna.

Então, seja a matriz:

$\begin{bmatrix}1&0&4&-2\\2&-1&2&5\\0&-2&-4&3\\-1&-3&0&-1\\\end{bmatrix}$

Buscamos o valor do cofator $A_{11}$

Substituindo $i=1$ e $j=1$, teremos:

$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}-1&2&5\\-2&-4&3\\-3&0&-1\\\end{vmatrix}$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Facilmente, obtemos:

$A_{11}=(-1)^2\cdot(-86)$

Calcule  a potência e multiplique os valores

$A_{11}=1\cdot(-86)\\\\\\ A_{11}=-86$

Este é o valor do cofator que buscávamos.

Answer 2

Olá!

Pelo Teorema de Laplace, temos que o cofator  $C_{11}$,   da matriz B será:

Fica assim:

$C_{ij}=(-1)^{i+j} ~.~ detD_{ij}$    ,   onde  i   e  j  representam a linha e coluna do elemento e $D_{ij}$  é a matriz formada depois de eliminarmos a linha e coluna do elemento  $b_{11}$  .

$C_{ij}=(-1)^{1+1} ~\times~ det\left\begin{vmatrix}{-1&~~ 2&~~ 5\\-2&-4&~~3\\-3&~~ 0&-1\end{vmatrix}\right$

O determinante vamos resolver utilizando regra de Sarrus.

$det\left\begin{vmatrix}{-1&~~ 2&~~ 5&-1&~~2\\-2&-4&~~3&-2&-4\\-3&~~ 0&-1&-3&~~0\end{vmatrix}\right\\ \\ \\ \\ \\ \left[(-1).(-4).(-1)+2.3.(-3)+5.(-2).0\right]~-~\left[5.(-4).(-3)+(-1).3.0+2.(-2).(-1)\right]=\\(-4-18)~-~(60+4)\\ \\ -22-64\\ \\\boxed{-86}$

Então:

$C_{11}=(-1)^{2} ~\times(-86)\\ C_{11}=1 ~\times(-86)\\ \\ \boxed{C_{11}=-86}$

:)