Question

Calcule as derivada por meio da definição, caso o limite exista F(x)=x^3

Answer 1

A derivada de uma função matemática é a taxa ou taxa de variação de uma função em um determinado ponto. Ou seja, quão rápido uma variação está ocorrendo.

De uma perspectiva geométrica, a derivada de uma função é a inclinação da recta tangente ao ponto onde x está localizado. Em termos matemáticos, a derivada de uma função pode ser expressa da seguinte forma

$\begin{array}{c|c|c}&\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&\end{array}$

• Devemos especificar que o limite de uma função é definido como sua tendência (de qual valor ela se aproxima) quando um de seus parâmetros (neste caso h) se aproxima de um determinado valor.

De acordo com tudo isso, podemos ver que a derivada da nossa função mais usando a definição de derivadas é igual a calcular o seguinte limite:

$\displaystyle f(x)=x^3\qquad \to \qquad f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^3-x^3}{h}$

Observe que no denominador temos a variável h e de acordo com nosso limite a variável h está se aproximando de 0 (zero), se você substituir h por 0 tanto no denominador quanto no numerador obteremos um valor indeterminado e isso é que h é no denominador o que faz com que ao dividir por 0 obtenhamos um resultado indeterminado e uma derivada nunca possa ser indeterminada, portanto devemos encontrar um método para eliminar a indeterminação no limite.

Podemos ver que no numerador temos um binômio ao cubo e graças ao nosso grande conhecimento em álgebra podemos desembrulhar esse binômio para um polinômio de terceiro grau, o que devemos aplicar é conhecido como binômio ao cubo e é representado pelo seguinte resultado:

$\begin{array}{ccc}&\boxed{\bf (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}&\end{array}$

O resultado desse binômio pode ser demonstrado graças a algo conhecido como binômio de Newton, já que o binômio de Newton é usado para desembrulhar binômios de qualquer potência, mas não estamos em álgebra, estamos em cálculo, portanto não estamos interessados no binômio de Newton. Aplicando este resultado em nosso binômio que está em nosso limite, obtemos o seguinte limite equivalente:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\overbrace{x^3}^{cancelar}+3x^2h +3xh^2+h^3-\overbrace{x^3}^{cancelar}}{h}\\\\ \\\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$

Aplicando binômio ao cubo não ajudou em nada porque nem tirou o indeterminado do nosso limite, poderíamos desistir e dizer que o limite não existe mas antes de desistir ainda temos esperança porque olha que no numerador h ele multiplica todos os termos disso, portanto podemos extrair h como um fator comum no numerador e assim obter:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{\not\!h\left(3x^2+3xh+h^2\right)}{\not\!h}\\\\\\ \displaystyle f'(x) =\lim_{h\to0}3x^2+3xh+h^2$

Nosso limite deixa de ser indeterminado e se torna um problema bastante simples, pois simplesmente substituindo h por 0 (zero) estamos dando a solução para nosso problema

$\displaystyle f'(x) =\lim_{h\to0}3x^2+3x\cdot0+0^2\qquad\to\qquad \boxed{\displaystyle f'(x)=3x^2}$

O resultado desse limite é o valor de nossa mais derivada simplesmente usando a definição, e podemos mostrar que esse resultado está correto simplesmente aplicando a regra da potência à nossa função original.