Question

Calcule a soma dos termos da PG finita :

A ) (1,2,..., 512)

B) (5,20,...,1280)

C) (1,2 elevado a 2,..., 2 elevado a 10)

Answer 1

Boa tarde Dayday!

Para resolver esses exercícios vamos ter que encontrar o valor de n e a razão,todos são feitos pelo mesmo processo.

Vamos achar a razão da PG.
A ) (1,2,..., 512)

q=a2 =2 =2
    a1   1
an=512
a1=1
n=?
q=2
Vamos substituir esses dados na formula
na=a1.q^n-1
512=1.2^n-1

Vamos decompor o número 512 em fatores primos
512|2
256|2
128|2
  64|2
  32|2
  16|2
    8|2
    4|2
    2|2
     1
512=2^9

2^9=2^n-1
Veja que as bases igualaram a 2
n-1=9
n=10
Agora com todos os dados podemos fazer a soma da PG,usando essa outra formula.
Sn=a1(q^n-1)
            q -1

Sn=1(2^10-1)
           2- 1
Sn=1(1024-1)
               1
Sn=1023

B) (5,20,...,1280)
O modo de fazer a B é análogo a primeira.
q=20 ⇒q=4
     5
a1=5
na=1280
q=4
n=?
1280|2
  640|2
  320|2
  160|2
    80|2
    40|2
    20|2
    10|2
      5|5
      1

Logo
1280=2^8.5

2^8.5=5.4^n-1

2^8.5=5.2^2(n-1) Veja que as bases estão iguais.
8=2(n-1)
8=2n-2
2n=10
 n=10   
      2
n=5
 
Sn=5(4^5-1)
            4-1

Sn=5(1024-1)
              3

Sn=5(1023)
              3
Sn=(5115)
           3
Sn=1705

C) (1,2 elevado a 2,..., 2 elevado a 10) Vou reescrever a PG.
PG:{1,4,................,1024} Aqui tem que se tomar um certo cuidado: porque o segundo termo esta elevado ao quadrado, logo o segundo termo é igual a 4.

a1=1
q=4
an=1024=2^10

Observe que as bases estão iguais

2^10=1.2^2(n-1)

10=2(n-1)
10=2n-2
2n=12
n= 12    
       2

n=1(4^6-1)
          4-1
Sn=1(4096-1)
              3
Sn=(4095)
           3
Sn=1365

Qualquer dúvida é só comentar.

Boa tarde
Bons estudos

Answer 2

As somas dos termos das progressões geométricas dadas são:

(a) 1023

(b) 1705

(c) 1365

Progressão geométrica

Uma progressão geométrica ou PG é uma sequência numérica onde cada termo pode ser obtido do termo anterior multiplicado por uma constante, essa constante é chamada de razão da PG e é denotada por q.

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é dada pela expressão:

$a_n = a_1*q^{n-1}$

Dada uma progressão geométrica com uma quantidade finita de termos, podemos calcular a soma dos seus termos utilizando a fórmula:

$S_n = \dfrac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$

Utilizando a fórmula do termo geral para substituir o valor de $a_1 * q^{n-1}$ na fórmula da soma, podemos escrever:

$S_n = \dfrac{a_n * q - a_1}{q - 1}$

Para encontrar a razão de cada PG dada podemos dividir o segundo termo pelo primeiro termo.

Alternativa a

Substituindo os valores dados na alternativa a, temos:

$q = 2/1 = 2$

$S_n = \dfrac{512*2 - 1}{2 - 1} = 1023$

Alternativa b

Para a PG dada no item b, temos:

$q = 20/5 = 4$

$S_n = \dfrac{1280*4 - 5}{4 - 1} = 1705$

Alternativa c

Substituindo os dados da PG descrita no item c:

$q = 4/1 = 4$

$S_n = \dfrac{2^{10} *4 - 1}{4 - 1} = 1365$

Para mais informações sobre progressão geométrica, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/42181366

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